Частные производные и дифференциалы высших порядков. Частные производные и дифференциалы высших порядков - документ

Частные производные и дифференциалы высших порядков Старшие производные. пусть f(x,y) определена на D , если существует частная производная в некоторой окрестности точки M0 , то можно говорить о производной от этой функции

Аналогично определяются производные . Те частные производные, где дифференцирование происходит по разным переменным, называются смешанными. Точно также определяются частные производные второго порядка в общем случае

Производная n – го порядка определяется, как производная от производной n -1 -го порядка. Выбор переменных, по которым производится дифференцирование и порядок этого дифференцирования определяется порядком записи переменных в знаменателе при обозначении производной n – го порядка. Порядок дифференцирования читается справа налево. Например,

Теорема (о независимости частных производных от порядка дифференцирования). Пусть u = f(x,y) имеет в окрестности точки M0(x0,y0) смешанные производные и непрерывные в самой точке M0 . Тогда в этой точке смешанные производные равны.

Доказательство. Рассмотрим выражение

Это же выражение можно записать в виде

W = (2)

Положим j(x) = f(x, y) – f(x, y0) . Из (1) получим

W = = = (3)

Частные производные и дифференциалы высших порядков.

Введение.

Так же как и в случае функций одной переменной, можно для функций нескольких переменных вычислять дифференциалы порядка выше первого.

Причём для сложных функций дифференциалы порядка выше первого не обладают неизменной формой и выражения для них более громоздки. В данной лекции предстоит рассмотреть так же геометрический смысл полного дифференциала функции нескольких переменных, который вводится по аналогии с геометрическим смыслом функции одной действительной переменной.

1. Дифференцирование неявной функции.

а) Пусть дано уравнение, связывающее две переменные х и у . Если все члены этого уравнения перенести в левую часть, то оно будет иметь вид

Уравнение (1) вообще говоря, определяет одну или несколько функций
. Например, уравнение
определяет одну функцию
, а уравнение определяет две функции
и
.

Если в рассмотренные уравнения вместо у подставить найденные функции, то они обратятся в тождества.

Определение: Всякая непрерывная функция , обращающая уравнение в тождество, называется неявной функцией, определяемой уравнением .

Не всякое уравнение определяет неявную функцию. Так уравнение
не удовлетворяет ни одной паре действительных чисел
и, следовательно, не определяет неявную функцию. Сформулируем условия, при которых уравнение определяет неявную функцию .

Пусть дано уравнение (1)

б) Теорема существования неявной функции.

Если функция
и её частные производные
и
определены и непрерывны в некоторой окрестности точки
и при этом
, а
, то уравнение определяет в этой окрестности точки
единственную неявную функцию , непрерывную и дифференцируемую в некотором интервале, содержащем точку , причём
.

Геометрически это означает, что в окрестности точки кривая представляет собой график непрерывной и дифференцируемой функции .

в) Производная неявной функции.

Пусть левая часть уравнения удовлетворяет условиям, указанным в теореме, тогда это уравнение определяет неявную функцию , для которой в окрестности точки имеет место тождество относительно х :
. Тогда
, при любом х из окрестности х 0 .

По правилу дифференцирования сложной функции

и, значит,
.

или
(2)

По этой формуле находится производная неявной функции (одной переменной ).

Пример: х 3 +у 3 -3ху=0

Имеем
х 3 +у 3 -3ху , =3х 2 -3у =3у 2 -3х

= -
.

Обобщим понятие неявно заданной функции на случай функции нескольких переменных.

Уравнение (3) определяет неявно заданную функцию , если эта функция непрерывна и обращает уравнение в тождество, т.е.
(4).

Условия существования и единственности неявно заданной функции формулируются аналогично.

Найдём и :

= -

= -

Пример:

2х

2у

= -
; = -
.

2. Частные производные высших порядков.

Пусть функция , имеет частные производные

Эти производные, вообще говоря, являются функциями независимых переменных х и у .

Частные производные от частных производных
и
называются частными производными второго порядка функции .

Каждая частная производная первого порядка и имеет две частные производные. Таким образом, получаем четыре частные производные второго порядка

1. Производные
и
называются смешанными производными второго порядка.

2. Возникает вопрос, зависит ли результат дифференцирования функции

От порядка дифференцирования по разным переменным, т.е. будут

ли тождественно равны и .

Справедлива теорема:

Теорема: Если производные и определены и непрерывны точке М(х,у) и некоторой её окрестности, то в этой точке

Пример:

Производные второго порядка можно снова дифференцировать

как по х , так и по у . Получим частные производные третьего порядка.

Частная производная п-го порядка есть частная производная от

производной (п-1)-го порядка.

3. Полные дифференциалы высших порядков.

Пусть - дифференцируемая функция, следовательно, существует будем называть дифференциалом первого порядка.

Пусть и - дифференцируемые функции в точке М(х,у) ,
и
будем рассматривать как постоянные множители. Тогда
является функцией 2-х переменных х и у , дифференцируемой в точке М(х,у) . Её дифференциал имеет вид:

Дифференциал от дифференциала в точке М(х,у) называется дифференциалом второго порядка в этой точке и обозначается
.

По определению Ошибка! Объект не может быть создан из кодов полей редактирования. =

Ошибка! Объект не может быть создан из кодов полей редактирования. =

Дифференциал от дифференциала (п-1)-го порядка называется дифференциалом п-го порядка функции

Выражение для символически можно записать в виде

Ошибка! Объект не может быть создан из кодов полей редактирования. =
=

Пример:

4. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

нормаль

касательная плоскость

Пусть N и N 0 – точки данной поверхности. Проведем прямую NN 0 . Плоскость, которая проходит через точку N 0 , называется касательной плоскостью к поверхности, если угол между секущей NN 0 и этой плоскостью стремится к нулю, когда стремится к нулю расстояние NN 0 .

Определение. Нормалью к поверхности в точке N 0 называется прямая, проходящая через точку N 0 перпендикулярно касательной плоскости к этой поверхности.

В какой – либо точке поверхность имеет, либо только одну касательную плоскость, либо не имеет ее вовсе.

Если поверхность задана уравнением z = f(x, y), где f(x, y) – функция, дифференцируемая в точке М 0 (х 0 , у 0), касательная плоскость в точке N 0 (x 0 ,y 0, (x 0 ,y 0)) существует и имеет уравнение:

Уравнение нормали к поверхности в этой точке:

Геометрическим смыслом полного дифференциала функции двух переменных f(x, y) в точке (х 0 , у 0) является приращение аппликаты (координаты z) касательной плоскости к поверхности при переходе от точки (х 0 , у 0) к точке (х 0 +х, у 0 +у).

Как видно, геометрический смысл полного дифференциала функции двух переменных является пространственным аналогом геометрического смысла дифференциала функции одной переменной.

Пример. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности

в точке М(1, 1, 1).

Уравнение касательной плоскости:

Уравнение нормали:

Заключение.

Определения и обозначения, связанные с частными производными высших порядков, остаются в силе и для функций, зависящих от трёх и более переменных. Остаётся справедливой и возможность изменения порядка производимых дифференцирований при условии непрерывности сравниваемых между собой производных.

Каждая частная производная (по x и по y ) функции двух переменных представляет собой обыкновенную производную функции одной переменной при фиксированном значении другой переменной:

(где y = const),

(где x = const).

Поэтому частные производные вычисляют по формулам и правилам вычисления производных функций одной переменной , считая при этом другую переменную постоянной (константой).

Если Вам не нужен разбор примеров и необходимого для этого минимума теории, а нужно лишь решение Вашей задачи, то переходите к калькулятору частных производных онлайн .

Если тяжело сосредоточиться, чтобы отслеживать, где в функции константа, то можно в черновом решении примера вместо переменной с фиксированным значением подставить любое число - тогда можно будет быстрее вычислить частную производную как обыкновенную производную функции одной переменной. Надо только не забыть при чистовом оформлении вернуть на место константу (переменную с фиксированном значением).

Описанное выше свойство частных производных следует из определения частной производной, которое может попасться в экзаменационных вопросах. Поэтому для ознакомления с определением ниже можно открыть теоретическую справку.

Понятие непрерывности функции z = f (x , y ) в точке определяется аналогично этому понятию для функции одной переменной.

Функция z = f (x , y ) называется непрерывной в точке если

Разность (2) называется полным приращением функции z (оно получается в результате приращений обоих аргументов).

Пусть заданы функция z = f (x , y ) и точка

Если изменение функции z происходит при изменении только одного из аргументов, например, x , при фиксированном значении другого аргумента y , то функция получит приращение

называемое частным приращением функции f (x , y ) по x .

Рассматривая изменение функции z в зависимости от изменения только одного из аргументов, мы фактически переходим к функции одной переменной.

Если существует конечный предел

то он называется частной производной функции f (x , y ) по аргументу x и обозначается одним из символов

(4)

Аналогично определяются частное приращение z по y :

и частная производная f (x , y ) по y :

(6)

Пример 1.

Решение. Находим частную производную по переменной "икс":

(y фиксировано);

Находим частную производную по переменной "игрек":

(x фиксировано).

Как видно, не имеет значения, в какой степени переменная, которая фиксирована: в данном случае это просто некоторое число, являющееся множителем (как в случае обычной производной) при переменной, по которой находим частную производную. Если же фиксированная переменная не умножена на переменную, по которой находим частную производную, то эта одинокая константа, безразлично, в какой степени, как и в случае обычной производной, обращается в нуль.

Пример 2. Дана функция

Найти частные производные

(по иксу) и (по игреку) и вычислить их значения в точке А (1; 2).

Решение. При фиксированном y производная первого слагаемого находится как производная степенной функции (таблица производных функций одной переменной ):

.

При фиксированном x производная первого слагаемого находится как производная показательной функции, а второго – как производная постоянной:

Теперь вычислим значения этих частных производных в точке А (1; 2):

Проверить решение задач с частными производными можно на калькуляторе частных производных онлайн .

Пример 3. Найти частные производные функции

Решение. В один шаг находим

(y x , как если бы аргументом синуса было 5x : точно так же 5 оказывается перед знаком функции);

(x фиксировано и является в данном случае множителем при y ).

Проверить решение задач с частными производными можно на калькуляторе частных производных онлайн .

Аналогично определяются частные производные функции трёх и более переменных.

Если каждому набору значений (x ; y ; ...; t ) независимых переменных из множества D соответствует одно определённое значение u из множества E , то u называют функцией переменных x , y , ..., t и обозначают u = f (x , y , ..., t ).

Для функций трёх и более переменных геометрической интерпретации не существует.

Частные производные функции нескольких переменных определяются и вычисляются также в предположении, что меняется только одна из независимых переменных, а другие при этом фиксированы.

Пример 4. Найти частные производные функции

.

Решение. y и z фиксированы:

x и z фиксированы:

x и y фиксированы:

Найти частные производные самостоятельно, а затем посмотреть решения

Пример 5.

Пример 6. Найти частные производные функции .

Частная производная функции нескольких переменных имеет тот же механический смысл, что и производная функции одной переменной , - это скорость изменения функции относительно изменения одного из аргументов.

Пример 8. Количественная величина потока П пассажиров железных дорог может быть выражена функцией

где П – количество пассажиров, N – число жителей корреспондирующих пунктов, R – расстоянии между пунктами.

Частная производная функции П по R , равная

показывает, что уменьшение потока пассажиров обратно пропорционально квадрату расстояния между корреспондирующими пунктами при одной и той же численности жителей в пунктах.

Частная производная П по N , равная

показывает, что увеличение потока пассажиров пропорционально удвоенному числу жителей населённых пунктов при одном и том же расстоянии между пунктами.

Проверить решение задач с частными производными можно на калькуляторе частных производных онлайн .

Полный дифференциал

Произведение частной производной на приращение соответствующей независимой переменной называется частным дифференциалом. Частные дифференциалы обозначаются так:

Сумма частных дифференциалов по всем независимым переменным даёт полный дифференциал. Для функции двух независимых переменных полный дифференциал выражается равенством

(7)

Пример 9. Найти полный дифференциал функции

Решение. Результат использования формулы (7):

Функция, имеющая полный дифференциал в каждой точке некоторой области, называется дифференцируемой в этой области.

Найти полный дифференциал самостоятельно, а затем посмотреть решение

Так же как и в случае функции одной переменной, из дифференцируемости функции в некоторой области следует её непрерывность в этой области, но не наоборот.

Сформулируем без доказательств достаточное условие дифференцируемости функции.

Теорема. Если функция z = f (x , y ) имеет непрерывные частные производные

в данной области, то она дифференцируема в этой области и её дифференциал выражается формулой (7).

Можно показать, что подобно тому, как в случае функции одной переменной дифференциал функции является главной линейной частью приращения функции , так и в случае функции нескольких переменных полный дифференциал является главной, линейной относительно приращений независимых переменных частью полного приращения функции.

Для функции двух переменных полное приращение функции имеет вид

(8)

где α и β – бесконечно малые при и .

Частные производные высших порядков

Частные производные и функции f (x , y ) сами являются некоторыми функциями тех же переменных и, в свою очередь, могут иметь производные по разным переменным, которые называются частными производными высших порядков.

1°

1°. Частные производные высших порядков . Частными производными второго порядка функции z=f (х,у) называются частные Производные от ее частных производных первого порядка.

Для производных второго порядка употребляются обозначения

Аналогично определяются и обозначаются частные производные порядка выше второго.

Если частные производные, подлежащие вычислению, непрерывны, то результат многократного дифференцирования не зависит от порядка дифференцирования.

Пример. Найти частные производные второго порядка от функции .

Решение. Найдем сначала частные производные первого порядка:

Теперь дифференцируем вторично:

Заметим, что так называемую «смешанную» частную производную можно найти и иначе, а именно: .

2°. Дифференциалы высших порядков . Дифференциалом второго порядка функции z=f(х, у) называется дифференциал от дифференциала (первого порядка) этой функции d²z=d(dz).

Аналогично определяются дифференциалы функции г порядка выше второго, например: d³z=d(d²z) и, вообще, .

Если z=f(х,у), где х и y - независимые переменные, то дифференциал 2-го порядка функции г вычисляется по формуле

.

Вообще, справедлива символическая формула

,

которая формально развертывается по биномиальному закону.

Если z=f(х,у), где аргументы х и у суть функции одного или нескольких независимых переменных, то

Если х и у - независимые переменные, d ²x =0, d ²y =0 и формула (2) становится тождественной формуле (1).

Пример. Найти полные дифференциалы 1-го и 2-го порядков функции .

Порядка n , где n > 1 , от функции z {\displaystyle z} в некоторой точке называется дифференциал в этой точке от дифференциала порядка (n - 1) , то есть

d n z = d (d n − 1 z) {\displaystyle d^{n}z=d(d^{n-1}z)} .

Энциклопедичный YouTube

• 1 / 5

  Для функции, зависящей от одной независимой переменной второй и третий дифференциалы выглядят так:

  d 2 z = d (d z) = d (z ′ d x) = d z ′ d x = (z ″ d x) d x = z ″ d x 2 {\displaystyle d^{2}z=d(dz)=d(z"dx)=dz"dx=(z""dx)dx=z""dx^{2}} , d 3 z = d (d 2 z) = d (z ″ d x 2) = d z ″ d x 2 = (z ‴ d x) d x 2 = z ‴ d x 3 {\displaystyle d^{3}z=d(d^{2}z)=d(z""dx^{2})=dz""dx^{2}=(z"""dx)dx^{2}=z"""dx^{3}} .

  Отсюда можно вывести общий вид дифференциала n -го порядка от функции z = f (x) {\displaystyle z=f(x)} , при условии, что x {\displaystyle x} - независимая переменная:

  d n z = z (n) d x n {\displaystyle d^{n}z=z^{(n)}dx^{n}} .

  При вычислении дифференциалов высших порядков очень важно, что d x {\displaystyle dx} есть произвольное и не зависящее от x {\displaystyle x} , которое при дифференцировании по x {\displaystyle x} следует рассматривать как постоянный множитель. Если x {\displaystyle x} не является независимой переменной, то дифференциал будет другим (см. ) .

  Дифференциал высшего порядка функции нескольких переменных

  Если функция z = f (x , y) {\displaystyle z=f(x,y)} имеет непрерывные частные производные второго порядка, то дифференциал второго порядка определяется так: d 2 z = d (d z) {\displaystyle d^{2}z=d(dz)} .

  d 2 z = d (∂ z ∂ x d x + ∂ z ∂ y d y) = (∂ z ∂ x d x + ∂ z ∂ y d y) x ′ d x + (∂ z ∂ x d x + ∂ z ∂ y d y) y ′ d y = {\displaystyle d^{2}z=d\left({\frac {\partial z}{\partial x}}dx+{\frac {\partial z}{\partial y}}dy\right)=\left({\frac {\partial z}{\partial x}}dx+{\frac {\partial z}{\partial y}}dy\right)"_{x}dx+\left({\frac {\partial z}{\partial x}}dx+{\frac {\partial z}{\partial y}}dy\right)"_{y}dy=} = (∂ 2 z ∂ x 2 d x + ∂ 2 z ∂ y ∂ x d y) d x + (∂ 2 z ∂ x ∂ y d x + ∂ 2 z ∂ y 2 d y) d y {\displaystyle =\left({\frac {\partial ^{2}z}{\partial x^{2}}}dx+{\frac {\partial ^{2}z}{\partial y\partial x}}dy\right)dx+\left({\frac {\partial ^{2}z}{\partial x\partial y}}dx+{\frac {\partial ^{2}z}{\partial y^{2}}}dy\right)dy} d 2 z = ∂ 2 z ∂ x 2 d x 2 + 2 ∂ 2 z ∂ x ∂ y d x d y + ∂ 2 z ∂ y 2 d y 2 {\displaystyle d^{2}z={\frac {\partial ^{2}z}{\partial x^{2}}}dx^{2}+2{\frac {\partial ^{2}z}{\partial x\partial y}}dxdy+{\frac {\partial ^{2}z}{\partial y^{2}}}dy^{2}} d 2 z = (∂ ∂ x d x + ∂ ∂ y d y) 2 z {\displaystyle d^{2}z=\left({\frac {\partial }{\partial x}}dx+{\frac {\partial }{\partial y}}dy\right)^{2}z}

  Символически общий вид дифференциала n -го порядка от функции z = f (x 1 , . . . , x r) {\displaystyle z=f(x_{1},...,x_{r})} выглядит следующим образом:
  

  d n z = (∂ ∂ x 1 d x 1 + ∂ ∂ x 2 d x 2 + . . . + ∂ ∂ x r d x r) n z {\displaystyle d^{n}z=\left({\frac {\partial }{\partial x_{1}}}dx_{1}+{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}dx_{2}+...+{\frac {\partial }{\partial x_{r}}}dx_{r}\right)^{n}z}

  где z = f (x 1 , x 2 , . . . x r) {\displaystyle z=f(x_{1},x_{2},...x_{r})} , а произвольные приращения независимых переменных x 1 , . . . , x r {\displaystyle x_{1},...,x_{r}} .
  Приращения d x 1 , . . . , d x r {\displaystyle dx_{1},...,dx_{r}} рассматриваются как постоянные и остаются одними и теми же при переходе от одного дифференциала к следующему. Сложность выражения дифференциала возрастает с увеличением числа переменных.

  Неинвариантность дифференциалов высшего порядка

  При n ⩾ 2 {\displaystyle n\geqslant 2} n {\displaystyle n} -й дифференциал не инвариантен (в отличие от инвариантности первого дифференциала), то есть выражение d n f {\displaystyle d^{n}f} зависит, вообще говоря, от того, рассматривается ли переменная x {\displaystyle x} как независимая, либо как некоторая промежуточная функция другого переменного, например, x = φ (t) {\displaystyle x=\varphi (t)} .

  Так, для независимой переменной x {\displaystyle x} второй дифференциал, как было сказано выше, имеет вид:

  d 2 z = z ″ (d x) 2 {\displaystyle d^{2}z=z""(dx)^{2}}

  Если же переменная x {\displaystyle x} сама может зависеть от других переменных, то d (d x) = d 2 x ≠ 0 {\displaystyle d(dx)=d^{2}x\neq 0} . В этом случае формула для второго дифференциала будет иметь вид :

  d 2 z = d (d z) = d (z ′ d x) = z ″ (d x) 2 + z ′ d 2 x {\displaystyle d^{2}z=d(dz)=d(z"dx)=z""\,(dx)^{2}+z"d^{2}x} .

  Аналогично, третий дифференциал примет вид:

  d 3 z = z ‴ (d x) 3 + 3 z ″ d x d 2 x + z ′ d 3 x {\displaystyle d^{3}z=z"""\,(dx)^{3}+3z""dx\,d^{2}x+z"d^{3}x} .

  Для доказательства неинвариантности дифференциалов высшего порядка достаточно привести пример.
  При n = 2 {\displaystyle n=2} и y = f (x) = x 3 {\displaystyle y=f(x)=x^{3}} :

  С учётом зависимости x = t 2 {\displaystyle x=t^{2}} , уже второй дифференциал не обладает свойством инвариантности при замене переменной. Также не инвариантны дифференциалы порядков 3 и выше.

  Дополнения

  • для функции с одной переменной:
  4 F (x 0) = d F (x 0) + d 2 F (x 0) 2 ! + . . . + d n F (x 0) n ! + d n + 1 F (x 0 + θ 4 x) (n + 1) ! {\displaystyle {\mathcal {4}}F(x_{0})=dF(x_{0})+{\frac {d^{2}F(x_{0})}{2!}}+...+{\frac {d^{n}F(x_{0})}{n!}}+{\frac {d^{n+1}F(x_{0}+\theta {\mathcal {4}}x)}{(n+1)!}}} , (0 < θ < 1) {\displaystyle (0<\theta <1)} ;
  • для функции с несколькими переменными:
  4 F (x 0 , y 0) = d F (x 0 , y 0) + d 2 F (x 0 , y 0) 2 ! + . . . + d n F (x 0 , y 0) n ! + d n + 1 F (x 0 + θ 4 x , y 0 + θ 4 y) (n + 1) ! {\displaystyle {\mathcal {4}}F(x_{0},y_{0})=dF(x_{0},y_{0})+{\frac {d^{2}F(x_{0},y_{0})}{2!}}+...+{\frac {d^{n}F(x_{0},y_{0})}{n!}}+{\frac {d^{n+1}F(x_{0}+\theta {\mathcal {4}}x,y_{0}+\theta {\mathcal {4}}y)}{(n+1)!}}} , (0 < θ < 1) {\displaystyle (0<\theta <1)}