Найти предельные вероятности для системы s. Вероятности состояний СМО

Построить граф состояний следующего случайного процесса: система состоит из двух аппаратов по продаже билетов, каждый из которых в случайный момент времени может быть либо занятым, либо свободным.

Решение:

Система может находиться в четырех состояниях, так как у каждого аппарата по продаже билетов есть два состояния (быть занятым или свободным). Пусть S 0 - оба аппарата заняты; S 1 - 1-ый занят, 2-ой свободен; S 2 - 1-ый свободен, 2-ой занят; S 3 - оба аппарата свободны. Построим граф состояний, отметив на нем все возможные состояния кругами, а возможные переходы из состояния в состояние обозначим стрелками. Получаем, что переход из S 0 в S 3 возможен либо через S 1 , либо через S 2 , либо напрямик, как показано на рисунке 4.

Рисунок 4 - Граф состояний аппаратов по продаже билетов

Найти предельные вероятности для системы S, граф которой изображен на рисунке.

Решение:

В теории случайных процессов доказывается, что если число состояний системы конечно и из каждого из них можно (за конечное число шагов) перейти в любое другое состояние, то предельные вероятности существуют. Их можно найти из уравнений Колмогорова, составив систему по данному размеченному графу состояний, по следующему правилу:

Слева в уравнении стоит предельная вероятность данного состояния p i , умноженная на суммарную интенсивность всех потоков, ведущих из данного состояния, а справа - сумма произведений интенсивностей всех потоков, входящих в данное состояние, на вероятности тех состояний, из которых эти состояния выходят.

Кроме этого надо учитывать, что сумма всех вероятностей данной конечной системы равна единице. Составим уравнения для состояний S 1 и S 2 (уравнение для состояния S 0 - «лишнее»):

Ответ: Система примерно 66,67% времени пребывает в состоянии S 0 , 25% - в состоянии S 1 и 8,33% времени находится в состоянии S 2 .

Найти валовой выпуск для сбалансированной многоотраслевой экономики в модели Леонтьева, если дана матрица прямых затрат А и вектор конечного потребления У:

Решение:

Для сбалансированной многоотраслевой экономики выполняется следующее соотношение:

Выразим валовой выпуск через конечное потребление и матрицу затрат:

Находим матрицу, обратную к (Е - А):

Найдем валовой выпуск:

Ответ: Валовой выпуск равен (811,3; 660,4).

*При решении задач использовался

"Случайности не случайны"... Звучит так, словно сказал философ, но на деле изучать случайности удел великой науки математики. В математике случайностями занимается теория вероятности. Формулы и примеры заданий, а также основные определения этой науки будут представлены в статье.

Что такое теория вероятности?

Теория вероятности - это одна из математических дисциплин, которая изучает случайные события.

Чтобы было немного понятнее, приведем небольшой пример: если подкинуть вверх монету, она может упасть «орлом» или «решкой». Пока монета находится в воздухе, обе эти вероятности возможны. То есть вероятность возможных последствий соотносится 1:1. Если из колоды с 36-ю картами вытащить одну, тогда вероятность будет обозначаться как 1:36. Казалось бы, что здесь нечего исследовать и предугадывать, тем более при помощи математических формул. Тем не менее, если повторять определенное действие много раз, то можно выявить некую закономерность и на ее основе спрогнозировать исход событий в других условиях.

Если обобщить все вышесказанное, теория вероятности в классическом понимании изучает возможность возникновения одного из возможных событий в числовом значении.

Со страниц истории

Теория вероятности, формулы и примеры первых заданий появились еще в далеком Средневековье, когда впервые возникли попытки спрогнозировать исход карточных игр.

Изначально теория вероятности не имела ничего общего с математикой. Она обосновывалась эмпирическими фактами или свойствами события, которое можно было воспроизвести на практике. Первые работы в этой сфере как в математической дисциплине появились в XVII веке. Родоначальниками стали Блез Паскаль и Пьер Ферма. Длительное время они изучали азартные игры и увидели определенные закономерности, о которых и решили рассказать обществу.

Такую же методику изобрел Христиан Гюйгенс, хотя он не был знаком с результатами исследований Паскаля и Ферма. Понятие «теория вероятности», формулы и примеры, что считаются первыми в истории дисциплины, были введены именно им.

Немаловажное значение имеют и работы Якоба Бернулли, теоремы Лапласа и Пуассона. Они сделали теорию вероятности больше похожей на математическую дисциплину. Свой теперешний вид теория вероятностей, формулы и примеры основных заданий получили благодаря аксиомам Колмогорова. В результате всех изменений теория вероятности стала одним из математических разделов.

Базовые понятия теории вероятностей. События

Главным понятием этой дисциплины является "событие". События бывают трех видов:

Достоверные. Те, которые произойдут в любом случае (монета упадет).
Невозможные. События, что не произойдут ни при каком раскладе (монета останется висеть в воздухе).
Случайные. Те, что произойдут или не произойдут. На них могут повлиять разные факторы, которые предугадать очень трудно. Если говорить о монете, то случайные факторы, что могут повлиять на результат: физические характеристики монеты, ее форма, исходное положение, сила броска и т. д.

Все события в примерах обозначаются заглавными латинскими буквами, за исключением Р, которой отведена другая роль. Например:

А = «студенты пришли на лекцию».
Ā = «студенты не пришли на лекцию».

В практических заданиях события принято записывать словами.

Одна из важнейших характеристик событий - их равновозможность. То есть, если подбросить монету, все варианты исходного падения возможны, пока она не упала. Но также события бывают и не равновозможными. Это происходит, когда кто-то специально воздействует на исход. Например, «меченые» игральные карты или игральные кости, в которых смещен центр тяжести.

Еще события бывают совместимыми и несовместимыми. Совместимые события не исключают появления друг друга. Например:

А = «студентка пришла на лекцию».
В = «студент пришел на лекцию».

Эти события независимы друг от друга, и появление одного из них не влияет на появление другого. Несовместимые события определяются тем, что появление одного исключает появление другого. Если говорить о той же монете, то выпадение «решки» делает невозможным появление «орла» в этом же эксперименте.

Действия над событиями

События можно умножать и складывать, соответственно, в дисциплине вводятся логические связки «И» и «ИЛИ».

Сумма определяется тем, что может появиться или событие А, или В, или два одновременно. В случае когда они несовместимы, последний вариант невозможен, выпадет или А, или В.

Умножение событий заключается в появлении А и В одновременно.

Теперь можно привести несколько примеров, чтобы лучше запомнились основы, теория вероятности и формулы. Примеры решения задач далее.

Задание 1 : Фирма принимает участие в конкурсе на получение контрактов на три разновидности работы. Возможные события, которые могут произойти:

А = «фирма получит первый контракт».
А 1 = «фирма не получит первый контракт».
В = «фирма получит второй контракт».
В 1 = «фирма не получит второй контракт»
С = «фирма получит третий контракт».
С 1 = «фирма не получит третий контракт».

С помощью действий над событиями попробуем выразить следующие ситуации:

К = «фирма получит все контракты».

В математическом виде уравнение будет иметь следующий вид: К = АВС.

М = «фирма не получит ни одного контракта».

М = А 1 В 1 С 1 .

Усложняем задание: H = «фирма получит один контракт». Поскольку не известно, какой именно контракт получит фирма (первый, второй или третий), необходимо записать весь ряд возможных событий:

Н = А 1 ВС 1 υ АВ 1 С 1 υ А 1 В 1 С.

А 1 ВС 1 - это ряд событий, где фирма не получает первый и третий контракт, но получает второй. Соответственным методом записаны и другие возможные события. Символ υ в дисциплине обозначает связку «ИЛИ». Если перевести приведенный пример на человеческий язык, то фирма получит или третий контракт, или второй, или первый. Подобным образом можно записывать и другие условия в дисциплине «Теория вероятности». Формулы и примеры решения задач, представленные выше, помогут сделать это самостоятельно.

Собственно, вероятность

Пожалуй, в этой математической дисциплине вероятность события - это центральное понятие. Существует 3 определения вероятности:

классическое;
статистическое;
геометрическое.

Каждое имеет свое место в изучении вероятностей. Теория вероятности, формулы и примеры (9 класс) в основном используют классическое определение, которое звучит так:

Вероятность ситуации А равняется отношению числа исходов, что благоприятствуют ее появлению, к числу всех возможных исходов.

Формула выглядит так: Р(А)=m/n.

А - собственно, событие. Если появляется случай, противоположный А, его можно записывать как Ā или А 1 .

m - количество возможных благоприятных случаев.

n - все события, которые могут произойти.

Например, А = «вытащить карту червовой масти». В стандартной колоде 36 карт, 9 из них червовой масти. Соответственно, формула решения задания будет иметь вид:

Р(А)=9/36=0,25.

В итоге вероятность того, что из колоды вытянут карту червовой масти, составит 0,25.

К высшей математике

Теперь стало немного известно, что такое теория вероятности, формулы и примеры решения заданий, которые попадаются в школьной программе. Однако теория вероятностей встречается и в высшей математике, которая преподается в вузах. Чаще всего там оперируют геометрическими и статистическими определениями теории и сложными формулами.

Очень интересна теория вероятности. Формулы и примеры (высшая математика) лучше начинать изучать с малого - со статистического (или частотного) определения вероятности.

Статистический подход не противоречит классическому, а немного расширяет его. Если в первом случае нужно было определить, с какой долей вероятности произойдет событие, то в этом методе необходимо указать, как часто оно будет происходить. Здесь вводится новое понятие «относительная частота», которую можно обозначить W n (A). Формула ничем не отличается от классической:

Если классическая формула вычисляется для прогнозирования, то статистическая - согласно результатам эксперимента. Возьмем, к примеру, небольшое задание.

Отдел технологического контроля проверяет изделия на качество. Среди 100 изделий нашли 3 некачественных. Как найти вероятность частоты качественного товара?

А = «появление качественного товара».

W n (A)=97/100=0,97

Таким образом, частота качественного товара составляет 0,97. Откуда взяли 97? Из 100 товаров, которые проверили, 3 оказались некачественными. От 100 отнимаем 3, получаем 97, это количество качественного товара.

Немного о комбинаторике

Еще один метод теории вероятности называют комбинаторикой. Его основной принцип состоит в том, что если определенный выбор А можно осуществить m разными способами, а выбор В - n разными способами, то выбор А и В можно осуществить путем умножения.

Например, из города А в город В ведет 5 дорог. Из города В в город С ведет 4 пути. Сколькими способами можно доехать из города А в город С?

Все просто: 5х4=20, то есть двадцатью разными способами можно добраться из точки А в точку С.

Усложним задание. Сколько существует способов раскладывания карт в пасьянсе? В колоде 36 карт - это исходная точка. Чтобы узнать количество способов, нужно от исходной точки «отнимать» по одной карте и умножать.

То есть 36х35х34х33х32…х2х1= результат не вмещается на экран калькулятора, поэтому его можно просто обозначить 36!. Знак «!» возле числа указывает на то, что весь ряд чисел перемножается между собой.

В комбинаторике присутствуют такие понятия, как перестановка, размещение и сочетание. Каждое из них имеет свою формулу.

Упорядоченный набор элементов множества называют размещением. Размещения могут быть с повторениями, то есть один элемент можно использовать несколько раз. И без повторений, когда элементы не повторяются. n - это все элементы, m - элементы, которые участвуют в размещении. Формула для размещения без повторений будет иметь вид:

A n m =n!/(n-m)!

Соединения из n элементов, которые отличаются только порядком размещения, называют перестановкой. В математике это имеет вид: Р n = n!

Сочетаниями из n элементов по m называют такие соединения, в которых важно, какие это были элементы и каково их общее количество. Формула будет иметь вид:

A n m =n!/m!(n-m)!

Формула Бернулли

В теории вероятности, так же как и в каждой дисциплине, имеются труды выдающихся в своей области исследователей, которые вывели ее на новый уровень. Один из таких трудов - формула Бернулли, что позволяет определять вероятность появления определенного события при независимых условиях. Это говорит о том, что появление А в эксперименте не зависит от появления или не появления того же события в ранее проведенных или последующих испытаниях.

Уравнение Бернулли:

P n (m) = C n m ×p m ×q n-m .

Вероятность (р) появления события (А) неизменна для каждого испытания. Вероятность того, что ситуация произойдет ровно m раз в n количестве экспериментов, будет вычисляться формулой, что представлена выше. Соответственно, возникает вопрос о том, как узнать число q.

Если событие А наступает р количество раз, соответственно, оно может и не наступить. Единица - это число, которым принято обозначать все исходы ситуации в дисциплине. Поэтому q - число, которое обозначает возможность ненаступления события.

Теперь вам известна формула Бернулли (теория вероятности). Примеры решения задач (первый уровень) рассмотрим далее.

Задание 2: Посетитель магазина сделает покупку с вероятностью 0,2. В магазин зашли независимым образом 6 посетителей. Какова вероятность того, что посетитель сделает покупку?

Решение: Поскольку неизвестно, сколько посетителей должны сделать покупку, один или все шесть, необходимо просчитать все возможные вероятности, пользуясь формулой Бернулли.

А = «посетитель совершит покупку».

В этом случае: р = 0,2 (как указано в задании). Соответственно, q=1-0,2 = 0,8.

n = 6 (поскольку в магазине 6 посетителей). Число m будет меняться от 0 (ни один покупатель не совершит покупку) до 6 (все посетители магазина что-то приобретут). В итоге получим решение:

P 6 (0) = C 0 6 ×p 0 ×q 6 =q 6 = (0,8) 6 = 0,2621.

Ни один из покупателей не совершит покупку с вероятностью 0,2621.

Как еще используется формула Бернулли (теория вероятности)? Примеры решения задач (второй уровень) далее.

После вышеприведенного примера возникают вопросы о том, куда делись С и р. Относительно р число в степени 0 будет равно единице. Что касается С, то его можно найти формулой:

C n m = n! / m!(n-m)!

Поскольку в первом примере m = 0, соответственно, С=1, что в принципе не влияет на результат. Используя новую формулу, попробуем узнать, какова вероятность покупки товаров двумя посетителями.

P 6 (2) = C 6 2 ×p 2 ×q 4 = (6×5×4×3×2×1) / (2×1×4×3×2×1) × (0,2) 2 × (0,8) 4 = 15 × 0,04 × 0,4096 = 0,246.

Не так уж и сложна теория вероятности. Формула Бернулли, примеры которой представлены выше, прямое тому доказательство.

Формула Пуассона

Уравнение Пуассона используется для вычисления маловероятных случайных ситуаций.

Основная формула:

P n (m)=λ m /m! × e (-λ) .

При этом λ = n х p. Вот такая несложная формула Пуассона (теория вероятности). Примеры решения задач рассмотрим далее.

Задание 3 : На заводе изготовили детали в количестве 100000 штук. Появление бракованной детали = 0,0001. Какова вероятность, что в партии будет 5 бракованных деталей?

Как видим, брак - это маловероятное событие, в связи с чем для вычисления используется формула Пуассона (теория вероятности). Примеры решения задач подобного рода ничем не отличаются от других заданий дисциплины, в приведенную формулу подставляем необходимые данные:

А = «случайно выбранная деталь будет бракованной».

р = 0,0001 (согласно условию задания).

n = 100000 (количество деталей).

m = 5 (бракованные детали). Подставляем данные в формулу и получаем:

Р 100000 (5) = 10 5 /5! Х е -10 = 0,0375.

Так же как и формула Бернулли (теория вероятности), примеры решений с помощью которой написаны выше, уравнение Пуассона имеет неизвестное е. По сути его можно найти формулой:

е -λ = lim n ->∞ (1-λ/n) n .

Однако есть специальные таблицы, в которых находятся практически все значения е.

Теорема Муавра-Лапласа

Если в схеме Бернулли количество испытаний достаточно велико, а вероятность появления события А во всех схемах одинакова, то вероятность появления события А определенное количество раз в серии испытаний можно найти формулой Лапласа:

Р n (m)= 1/√npq x ϕ(X m).

X m = m-np/√npq.

Чтобы лучше запомнилась формула Лапласа (теория вероятности), примеры задач в помощь ниже.

Сначала найдем X m , подставляем данные (они все указаны выше) в формулу и получим 0,025. При помощи таблиц находим число ϕ(0,025), значение которого 0,3988. Теперь можно подставлять все данные в формулу:

Р 800 (267) = 1/√(800 х 1/3 х 2/3) х 0,3988 = 3/40 х 0,3988 = 0,03.

Таким образом, вероятность того, что рекламная листовка сработает ровно 267 раз, составляет 0,03.

Формула Байеса

Формула Байеса (теория вероятности), примеры решения заданий с помощью которой будут приведены ниже, представляет собой уравнение, которое описывает вероятность события, опираясь на обстоятельства, которые могли быть связаны с ним. Основная формула имеет следующий вид:

Р (А|B) = Р (В|А) х Р (А) / Р (В).

А и В являются определенными событиями.

Р(А|B) - условная вероятность, то есть может произойти событие А при условии, что событие В истинно.

Р (В|А) - условная вероятность события В.

Итак, заключительная часть небольшого курса «Теория вероятности» - формула Байеса, примеры решений задач с которой ниже.

Задание 5 : На склад привезли телефоны от трех компаний. При этом часть телефонов, которые изготавливаются на первом заводе, составляет 25%, на втором - 60%, на третьем - 15%. Известно также, что средний процент бракованных изделий у первой фабрики составляет 2%, у второй - 4%, и у третьей - 1%. Необходимо найти вероятность того, что случайно выбранный телефон окажется бракованным.

А = «случайно взятый телефон».

В 1 - телефон, который изготовила первая фабрика. Соответственно, появятся вводные В 2 и В 3 (для второй и третьей фабрик).

В итоге получим:

Р (В 1) = 25%/100% = 0,25; Р(В 2) = 0,6; Р (В 3) = 0,15 - таким образом мы нашли вероятность каждого варианта.

Теперь нужно найти условные вероятности искомого события, то есть вероятность бракованной продукции в фирмах:

Р (А/В 1) = 2%/100% = 0,02;

Р(А/В 2) = 0,04;

Р (А/В 3) = 0,01.

Теперь подставим данные в формулу Байеса и получим:

Р (А) = 0,25 х 0,2 + 0,6 х 0,4 + 0,15 х 0,01= 0,0305.

В статье представлена теория вероятности, формулы и примеры решения задач, но это только вершина айсберга обширной дисциплины. И после всего написанного логично будет задаться вопросом о том, нужна ли теория вероятности в жизни. Простому человеку сложно ответить, лучше спросить об этом у того, кто с ее помощью не единожды срывал джек-пот.

Пусть имеется физическая система S с дискретными состояниями:

в которой протекает марковский случайный процесс с непрерывным временем (непрерывная цепь Маркова). Граф состояний показан на рис. 4.32.

Предположим, что все интенсивности потоков событий, переводящих систему из состояния в состояние, постоянны:

другими словами, все потоки событий - простейшие (стационарные пуассоновские) потоки.

Записав систему дифференциальных уравнений Колмогорова для вероятностей состояний и проинтегрировав эти уравнения при заданных начальных условиях, мы получим вероятности состояний, как функции времени, т. е. функций:

при любом t дающих в сумме единицу:

Поставим теперь следующий вопрос: что будет происходить с системой S при Будут ли функции стремиться к каким-то пределам? Эти пределы, если они существуют, называются предельными (или «финальными») вероятностями состояний.

Можно доказать следующее общее положение. Если число состояний системы S конечно и из каждого состояния можно перейти (за то или иное число шагов) в каждое другое, то предельные вероятности состояний существуют и не зависят от начального состояния системы.

На рис. 4.33 показан граф состояний, удовлетворяющий поставленному условию: из любого состояния система может рано или поздно перейти в любое другое. Напротив, для системы, граф состояний которой показан на рис. 4.34, условие не выполнено. Очевидно, что если начальное состояние такой системы то, например, состояние при может быть достигнуто, а если начальное состояние - не может.

Предположим, что поставленное условие выполнено, и предельные вероятности существуют:

Предельные вероятности мы будем обозначать теми же буквами что и сами вероятности состояний, разумея подними на этот раз не переменные величины (функций времени), а постоянные числа.

Очевидно, предельные вероятности состояний, так же как и допредельные, в сумме должны давать единицу:

Таким образом, при в системе S устанавливается некоторый предельный стационарный режим: он состоит в том, что система случайным образом меняет свои состояния, но вероятность каждого из них уже не зависит от времени: каждое из состояний осуществляется с некоторой постоянной вероятностью. Каков смысл этой вероятности? Она представляет собой не что иное, как среднее относительное время пребывания системы в данном состоянии. Например, если у системы S три возможных состояния: причем их предельные вероятности равны 0,2, 0,3 и 0,5, это означает, что после перехода к установившемуся режиму система S в среднем две десятых времени будет находиться в состоянии три десятых - в состоянии и половину времени в состоянии Возникает вопрос: как вычислить предельные вероятности состояний

Оказывается, для этого в системе уравнений Колмогорова, описывающих вероятности состояний, нужно положить все левые части (производные) равными нулю.

Действительно, в предельном (установившемся) режиме все вероятности состояний постоянны, значит, их производные равны нулю.

Если все левые части уравнений Колмогорова для вероятностей состояний положить равными нулю, то система дифференциальных уравнений превратится в систему линейных алгебраических уравнений. Совместно с условием

(так называемым «нормировочным условием») эти уравнения дают возможность вычислить все предельные вероятности

Пример 1. Физическая система 5 имеет возможные состояния: размеченный граф которых дан на рис. 4.35 (у каждой стрелки поставлено численное значение соответствующей интенсивности). Вычислить предельные вероятности состояний:

Решение. Пишем уравнения Колмогорова для вероятностей состояний:

Полагая левые части равными нулю, получим систему алгебраических уравнений для предельных вероятностей состояний:

Уравнения (7.4) - так называемые однородные уравнения (без свободного члена). Как известно из алгебры, эти уравнения определяют величины только с точностью до постоянного множителя. К счастью, у нас есть нормировочное условие:

которое, совместно о уравнениями (7.4), дает возможность найти все неизвестные вероятности.

Действительно, выразим из (7.4) все неизвестные вероятности через одиу из них, например, через Из первого уравнения:

Подставляя во второе уравнение, получим:

Четвертое уравнение дает:

Подставляя все эти выражения вместо в нормировочное условие (7.5), получим

Таким образом, предельные вероятности состояний получены, они равиы:

Это значит, что в предельном, установившемся режиме система S будет проводить в состоянии в среднем одну двадцать четвертую часть времени, в состоянии - половину времени, в состоянии - пять двадцать четвертых и в состоянии - одну четверть времени.

Заметим, что решая эту задачу, мы совсем не пользовались одним из уравнений (7 4) - третьим Нетрудно убедиться, что оно является следствием трех остальных: складывая все четыре уравнения, мы получим тождественный нуль. С равным успехом, решая систему, мы могли бы отбросить любое из четырех уравнений (7.4).

Примененный нами способ составления алгебраических уравнений для предельных вероятностей состояний сводился к следующему: сперва написать дифференциальные уравнения, а затем положить в них левые части равными нулю. Однако можио записать алгебраические уравнения для предельных вероятностей и непосредственно, не проходя через этап дифференциальных. Проиллюстрируем это на примере.

Пусть имеется физическая система S={S 1 ,S 2 ,…S n } , в которой протекает марковский случайный процесс с непрерывным временем (непрерывная цепь Маркова). Предположим, что l ij =const , т.е. все потоки событий простейшие (стационарные пуассоновские). Записав систему дифференциальных уравнений Колмогорова для вероятностей состояний и проинтегрировав эти уравненияпри заданных начальных условиях, мы получим p 1 (t), p 2 (t),… p n (t), при любом t . Поставим следующий вопрос, что будет происходить с системой S при t®¥. Будут ли функции p i (t ) стремиться к каким-то пределам? Эти пределы, если они существуют, называются предельными вероятностями состояний. Можно доказать теорему: если число состояний S конечно и из каждого состояния можно перейти (за то или иное число шагов) в каждое другое, то предельные вероятности состояний существуют и не зависят от начального состояния системы. Предположим, что поставленное условие выполнено и предельные вероятности существуют (i=1,2,…n), .

Таким образом, при t®¥ в системе S устанавливается некоторый предельный стационарный режим. Смысл этой вероятности: она представляет собой не что иное, как среднее относительное время пребывания системы в данном состоянии. Для вычисления p i в системе уравнений Колмогорова, описывающих вероятности состояний, нужно положить все левые части (производные) равными 0. Систему получающихся линейных алгебраических уравнений надо решать совместно с уравнением .

Основные формулы для вычисления финальных вероятностей состояний СМО. Пример использования формул.

Что будет происходить с вероятностями состояний при ? Будут ли стремиться к каким-либо пределам? Если эти пределы существуют и не зависят от начального состояния системы, то они называются финальными вероятностями состояний .

где - конечное число состояний системы.

Финальные вероятности состояний – это уже не переменные величины (функции времени), а постоянные числа. Очевидно, что:

Финальная вероятность состояния – это по–существу среднее относительное время пребывания системы в этом состоянии.

Например, система S имеет три состояния S1, S2 и S3. Их финальные вероятности равны соответственно 0,2; 0,3 и 0,5. Это значит, что система в предельном стационарном состоянии в среднем 2/10 времени проводит в состоянии S1, 3/10 – в состоянии S2 и 5/10 – в состоянии S3.

Вопрос 8

p S - 1 λ S - 1, S + p S+1 λ S + 1, S - p S (λ S - 1, S + λ S + 1, S) = 0, s = 0, R

s = 0 – p 1 λ 10 – p 0 λ 01 = 0

s = 1 - p 0 λ 01 + p 2 λ 21 - p 1 (λ 10 + λ 12) = 0

s = 3 - p 1 λ 12 + p 3 λ 32 - p 2 (λ 21 + λ 23) = 0

Вопрос 9

Многоканальная СМО с ограниченной длиной очереди.

Система может находиться в одном из состояний S0, S1, S2,…, Sk,…, Sn,…, - нумеруемых по числу заявок, находящихся в СМО: S0 - в системе нет заявок (все каналы свободны); S1 - занят один канал, остальные свободны; S2 - заняты два канала, остальные свободны;..., Sk - занято k каналов, остальные свободны;..., Sn - заняты все n каналов (очереди нет); Sn+1 - заняты все n каналов, в очереди одна заявка;..., Sn+r - заняты все n каналов, r заявок стоит в очереди.

Вопрос 10

λ - интенсивность поступления заявок в систему (среднее число заявок, поступающих в систему за единицу времени).

– интенсивность обслуживания, t об – среднее время обслуживания одного клиента

Средняя продолжительность обслуживания одной заявки равняется 1/μ

число каналов обслуживания n

Вероятности свободного состояния СМО:

Многоканальная с отказами

Или как давал препод: i=1,R

Рассмотрим математическое описание марковского процесса с дискретными состояниями и непрерывным временем на примере случайного процесса из предыдущего примера, граф которого изображен на рис. 15. Будем полагать, что все переходы системы из состояния S i в S j происходят под воздействием простейших потоков событий с интенсивностями (i, j = 0, 1, 2, 3); так, переход системы из состояния S 0 в S 1 будет происходить под воздействием потока отказов первого узла, а обратный переход из состояния S 1 в S 0 - под воздействием потока окончаний ремонтов первого узла и т.п.

Граф состояний системы с проставленными у стрелок интенсивностями будем называть размеченным (см. рис. 3.1). Рассматриваемая система S имеет четыре возможных состояния: S 0 ,S 1 , S 2 , S 3 .

Вероятностью i-го состояния называется вероятность p i (t ) того, что в момент t система будет находиться в состоянии S ,. Очевидно, что для любого момента t сумма вероятностей всех состояний равна единице:

Система дифференциальных уравнений Колмогорова для вероятностей состояний:

(3.2.)

Сформулируем правило составления уравнений Колмогорова. В левой части каждого из них стоит производная вероятности i -го состояния. В правой части - сумма произведений вероятностей всех состояний (из которых идут стрелки в данное состояние) на интенсивности соответствующих потоков событий, минус суммарная интенсивность всех потоков, выводящих систему из данного состояния, умноженная на вероятность данного (1-го состояния).

В системе (3.2) независимых уравнений на единицу меньше общего числа уравнений. Поэтому для решения системы необходимо добавить уравнение (3.1).

Особенность решения дифференциальных уравнений вообще состоит в том, что требуется задать так называемые начальные условия, т.е. в данном случае вероятности состояний системы в начальный момент t = 0. Так, например, систему уравнений (15.9) естественно решать при условии, что в начальный момент обе бригады свободны и система находилась в состоянии S 0 , т.е. при начальных условиях p 0 (0) = 1, p 1 (0) = 0, p 2 (0) = 0, p 3 (0) = 0.

Уравнения Колмогорова дают возможность найти все вероятности состояний как функции времени. Особый интерес представляют вероятности системы p i (t ) в предельном стационарном режиме, т.е. при , которые называются предельными (или финальными) вероятностями состояний.

Предельная вероятность состояния S , имеет четкий смысл: она показывает среднее относительное время пребывания системы в этом, состоянии. Например, если предельная вероятность состояния S 0 т.е. р 0 = 0,5, то это означает, что в среднем половину времени система находится в состоянии S 0 .

Так как предельные вероятности постоянны, то, заменяя в уравнениях Колмогорова их производные нулевыми значениями, получим систему линейных алгебраических уравнений, описывающих стационарный режим. Для системы S с графом состояний, изображенном на рис. 3.2), такая система уравнений имеет вид:

(3.3)

Систему (4.3) можно составить непосредственно по размеченному графу состояний, если руководствоваться правилом, согласно которому слева в уравнениях стоит предельная вероятность данного состояния р„ умноженная на суммарную интенсивность всех потоков, ведущих из данного состояния, а справа - сумма произведений интенсивностей всех потоков, входящих в 1-е состояние, на вероятности тех состояний, из которых эти потоки исходят.