personarossii.ru → Канализация

Интеграл Ито, формула Ито. Диффузионный процесс, или процесс Ито

Представленный в предыдущем подпараграфе винеровский случайный процесс в силу своих свойств часто выступает в роли базового в конструкции так называемых диффузионных процессов X t , t> 0, являющихся решениями стохастических дифференциальных уравнений вида

Последнее уравнение является компактной записью соотношения

Второй интеграл, входящий в выражение (2.4), понимается как стохастический интеграл Ито по винеровскому процессу. Другими словами, интегралом Ито называется интеграл случайной функции b(t, X,) по винеровскому процессу, имеющий следующий вид:

В классическом математическом анализе рассматриваются различные подходы к понятию интегрирования функций, которые приводят к отличающимся видам интегралов, таким как, например, интегралы Ньютона, Римана, Лебега и др. В теории стохастических процессов также рассматриваются разные подходы к интегрированию случайных функций по случайным процессам, приводящие к различным видам стохастических интегралов.

Одним из первых проблему интегрирования по случайным процессам рассмотрел Н. Винер. В своих работах он дал определение стохастического интеграла для детерминированных, т.е. неслучайных, гладких функций. В данном случае стохастический интеграл l(t) определяется следующим соотношением:

где f(s ), s > 0, - детерминированная функция времени.

Поскольку функция f(s) является дифференцируемой, можно воспользоваться методом интегрирования по частям. В результате получим

где интеграл ff"(s)W s ds понимается как потраекторный, т.е. для каждой о

реализации случайной величины со как интеграл Римана от непрерывной функции f"(s)W s (со), s > 0.

В 1944 г. японский математик К. Иго (Ito) сделал существенный шаг в теории стохастического интегрирования, обобщив результат Винера на случай не только детерминированных, но и случайных функций. Таким образом, К. Ито сделал существенный шаг в расширении понятия стохастического интеграла, что, в свою очередь, привело к развитию стохастического исчисления, являющегося наиболее мощным на сегодняшний день инструментом исследования и анализа случайных процессов. Соответственно, предложенный Иго интеграл случайной функции по винеров-

скому процессу I(t) = jf (s,co)dW s носит его имя.

Перейдем непосредственно к определению интеграла Ито. Разобьем отрезок на п частей следующим образом: 0 = ? 0 t x <...>t n = t и введем в рассмотрение сумму

В простейшем случае потребуем, чтобы /(s, со) была адаптирована к винеровскому процессу, т.е. была функцией (W x , 0 х и, таким образом, зависела только от его текущего и прошлых значений. Кроме того, будем предполагать выполнение условия

В этой ситуации можно показать, что существует единственная случайная величина /(/)(со), такая что имеет место сходимость

при п -> и условии равномерного дробления отрезка || iVxA r с компонентами а г = я; (?,со) и bjj = b;j(t, со) соответственно, удовлетворяющие условиям, аналогичным представленным выше для процессов я(?, со) и b(t> со), такие что для всех i = 1,..., N выполняются соотношения

где WJy - набор независимых стандартных винеровских процессов J = 1,..., N.

Независимость двух винеровских процессов W jt и означает выполнение равенства

Последнее соотношение

расшифровывается следующим образом:

при dt-^ti j.

Для доказательства того, что из независимости винеровских процессов, означающей независимость случайных величин W ir и W- jt для любого фиксированного момента времени t , следуют указанные соотношения, ввс-

дем в рассмотрение случайный процесс W t = -^(W it +Wj t), который, как

нетрудно убедиться, является также винеровским в силу независимости исходных винеровских процессов. Заметим, что выражение

можно преобразовать, используя процесс W t , следующим образом:

Правая часть полученного соотношения в силу формулы (2.3) стремится к нулю при dt -> 0, что и завершает доказательство отмеченного свойства. Таким образом, в данном случае, если U(t,x ]y ... y x N) представляет собой

ЭU bU d 2 U . . ,

функцию с непрерывными производными --, -- и ----, i,j = 1, ..., N, то

Ot OX; ox fix i

имеет место iV-мерный вариант формулы Ито:

Следует отметить, что в практических приложениях часто считается, что случайные процессы Х и имеют независимые шумы.

Важно, что указанное предположение не означает независимость самих процессов X it В частности, формула (2.7) позволяет в ряде случаев в явном виде определять стоимость различных финансовых инструментов (например, опционов), которые, в свою очередь, зависят от стоимости некоторых базовых активов (например, акций).

Если винеровские процессы W it и Wj t зависимы, то имеет место соотношение

где случайная величина а,-,(?, со) носит название коэффициента корреляции. В этом случае нетрудно убедиться, что формула Ито приобретает следующий вид:

Формула Ито имеет целый спектр приложений при анализе случайных процессов вида (2.6). С одной стороны, эта формула позволяет вычислять стохастические интегралы. Рассмотрим следующий пример. Пусть W t - стандартный винеровский процесс. Необходимо вычислить интеграл

Другими словами, требуется вычислить интеграл винеровского процесса по винеровскому процессу. Рассмотрим процесс X t , определяемый соотношением dX t = dW t , Х 0 = 0. Очевидно, что X t = W L . Теперь применим формулу Ито к функции U(t, X t) = X}. Сравнивая соотношение dX, = dV t с выражением (2.6), отметим, что в данном конкретном случае a(t, со) = 0, а b(t, со) = 1. Кроме того,

Учитывая полученные соотношения, имеем

Интегрируя обе части последнего равенства, получаем Тогда, учитывая, что

окончательно получим

Следует отметить, что если бы функция W t была непрерывно дифференцируемой, то указанный интеграл должен был быть равен - 1Т/, поскольку

в этом случае он представлял бы обычный интеграл Римана.

С другой стороны, формула Иго предоставляет инструмент моделирования цен финансовых активов, в основе которых лежат более простые инструменты, динамика стоимости которых описывается процессом Ито. Например, в дальнейшем будет показано, что цены акций следуют процессу Ито, имеющему определенный вид функций a(t , со) и b(t> со). Тогда стоимость любого срочного контракта, основанного на данной акции, также будет следовать процессу Ито, поскольку, очевидно, стоимость указанного контракта является функцией цены базового актива.

Рассмотрим важный частный случай применения формулы Ито, связанный с выводом уравнений для математического ожидания и дисперсии случайного процесса, удовлетворяющего линейному стохастическому дифференциальному уравнению. Значение процессов указанного типа заключается в том, что таковыми являются случайные процессы стоимости портфелей, составленных из финансовых активов различного типа, например акций и облигаций. Пусть процесс X t , значение которого в момент времени t - 0 равно заданному значению Х 0 > удовлетворяет уравнению вида

где a x (t), a 2 (t ), b { (t) и b 2 (t) - детерминированные функции времени.

Требуется определить значение математического ожидания р(?) = МХ { и дисперсии DX t случайного процесса X t на момент времени t. Обозначим

тогда

Таким образом, для решения поставленной задачи достаточно вывести уравнения для функций р(?) и S(t). Представим выражение (2.8) в интегральной форме:

Применяя функцию математического ожидания к левой и правой частям уравнения (2.9) и учитывая, что математическое ожидание интеграла Ито равно нулю, получим

Ив последнего соотношения непосредственно можно получить обыкновенное дифференциальное уравнение для функции р(?):

при этом р(0) = Х 0 .

Для определения S(t) введем функцию U(t, х ) = х 2 . Тогда по формуле Ито

Преобразуем последнее соотношение к интегральному виду и приравняем математические ожидания его левой и правой частей. С учетом соот-

.. dU dU 0 Э4J 0

ношении -- = 0, -- = 1х и -- = 2 получим at ох ох 2

Тогда S(t) определяется как решение дифференциального уравнения

с начальным условием S(0) = Xfi.

Wiener N. Differential space // Journal of Mathematical Physics. Mass. Inst. Tech., 1923.Vol. 2. P. 131-174.

Стохастический интеграл - интеграл вида $\int f(t) dy(t)$ , где ${y(t), t \in T}$ - случайный процесс с независимыми нормальными приращениями. Стохастические интегралы широко используются в стохастических дифференциальных уравнениях . Стохастический интеграл нельзя вычислять как обычный интеграл Стильтьеса .

Стохастический интеграл от детерминированной функции

Стохастический интеграл можно определить при помощи сумм $S_N = \sum_{i=0}^N f(\tau_i)$ . Интеграл получается, как и у интеграла Стильтьеса, переходом к пределу: $I = \int f(t) dy(t) = \lim S_N$ .

Стохастический интеграл от стохастического процесса

Рассмотрим интеграл $\int_0^T \omega(t) d\omega(t)$ , где ${\omega(t), t \in T}$ - винеровский процесс с единичным параметром дисперсии. Разделим интервал точками $0=t_1, t_2, ..., t_N, t_{N+1}=T$ на $N$ подинтервалов. Используя предыдущее определение интеграла для детерминированной функции, стохастический интеграл можно определить любым из двух выражений: $I_0=\lim \sum^{N}_{i=1}\omega(t_i)[\omega(t_{i+1})-\omega(t_i)]$ , или $I_1=\lim \sum^{N}_{i=1}\omega(t_{i+1})[\omega(t_{i+1})-\omega(t_i)]$ . Эти интегралы не равны, поскольку, по определению винеровского процесса: $E=\lim \sum^{N}_{i=1}E\left([\omega(t_{i+1})-\omega(t_i)]^2\right)=T$ . Обобщенный стохастический интеграл можно определить как взвешенную по параметру $\lambda$ сумму интегралов $I_0$ и $I_1$ следующей формулой: $I_\lambda=(1 - \lambda)I_0+\lambda I_1=\lim \sum^N_{i=1}[(1-\lambda)\omega(t_i)+\lambda\omega(t_{i+1})][\omega(t_{i+1})-\omega(t_i)]$ , при $0 \leqslant \lambda \leqslant 1$ . Интеграл $I_0$ соответствует интегралу Ито, а $I_{0,5}$ совпадает с интегралом Стратоновича.

Интеграл Стратоновича

Интеграл Стратоновича имеет вид: $I=\lim_{N\to \infty} \sum^{N}_{i=1}f\left(\frac{t_{i+1}+t_i}{2}\right)$ .

Интеграл Ито

Интеграл Ито имеет вид: $\int f(t) dy(t)=\lim_{N\to \infty} \sum^{N}_{i=1}f(t_i)$ . Его основные свойства: $E \int f(t) dy(t) = \int { E f(t) } dm(t)$ , $cov [ \int f(t) dy(t), \int g(t) dy(t) ] = \int [ E f(t) g(t) ] dr(t)$ .

Интеграл Винера

Поставим в соответствие каждой траектории одномерного винеровского процесса некоторое число $\alpha$ . Тогда эту траекторию можно описать посредством стохастической функции $x(t, \alpha)$ . Интеграл вида $\int\limits_0^1 f(t)dx(t,\alpha)dt$ называется стохастическим интегралом Винера. Этот интеграл вычисляется аналогично интегрированию по частям: $\int\limits_0^1 f(t)dx(t,\alpha)dt = f(1)x(1, \alpha) - \int\limits_0^1 f"(t)dx(t,\alpha)dt$ . Его основные свойства: $\int\limits_0^1 d\alpha \int\limits_0^1 f(t)dx(t,\alpha)dt = 0$ , $\int\limits_0^1 d\alpha \left [ \int\limits_0^1 f(t)dx(t,\alpha)dt \right ]^{2} = \int\limits_0^1 f^{2}(t)dt$ .

См. также

Напишите отзыв о статье "Стохастический интеграл"

Литература

К.Ю. Острём Введение в стохастическую теорию управления. // пер. с англ. С.А. Анисисмова, Н.Е. Арутюновой, А.Л. Бунича, под ред. Н.С. Райбмана, "Мир", М., 1973, гл. 3. Стохастические модели состояния, п. 5. Стохастические интегралы.
Н. Винер Нелинейные задачи в теории случайных процессов, М., ИЛ, 1961.

Интегральное исчисление

Основное

Обобщения интеграла Римана

Интегральные преобразования

Численное интегрирование

Теория меры

Связанные темы

Списки интегралов

Отрывок, характеризующий Стохастический интеграл

Пьер был один из тех людей, которые, несмотря на свою внешнюю, так называемую слабость характера, не ищут поверенного для своего горя. Он переработывал один в себе свое горе.
«Она во всем, во всем она одна виновата, – говорил он сам себе; – но что ж из этого? Зачем я себя связал с нею, зачем я ей сказал этот: „Je vous aime“, [Я вас люблю?] который был ложь и еще хуже чем ложь, говорил он сам себе. Я виноват и должен нести… Что? Позор имени, несчастие жизни? Э, всё вздор, – подумал он, – и позор имени, и честь, всё условно, всё независимо от меня.
«Людовика XVI казнили за то, что они говорили, что он был бесчестен и преступник (пришло Пьеру в голову), и они были правы с своей точки зрения, так же как правы и те, которые за него умирали мученической смертью и причисляли его к лику святых. Потом Робеспьера казнили за то, что он был деспот. Кто прав, кто виноват? Никто. А жив и живи: завтра умрешь, как мог я умереть час тому назад. И стоит ли того мучиться, когда жить остается одну секунду в сравнении с вечностью? – Но в ту минуту, как он считал себя успокоенным такого рода рассуждениями, ему вдруг представлялась она и в те минуты, когда он сильнее всего выказывал ей свою неискреннюю любовь, и он чувствовал прилив крови к сердцу, и должен был опять вставать, двигаться, и ломать, и рвать попадающиеся ему под руки вещи. «Зачем я сказал ей: „Je vous aime?“ все повторял он сам себе. И повторив 10 й раз этот вопрос, ему пришло в голову Мольерово: mais que diable allait il faire dans cette galere? [но за каким чортом понесло его на эту галеру?] и он засмеялся сам над собою.
Ночью он позвал камердинера и велел укладываться, чтоб ехать в Петербург. Он не мог оставаться с ней под одной кровлей. Он не мог представить себе, как бы он стал теперь говорить с ней. Он решил, что завтра он уедет и оставит ей письмо, в котором объявит ей свое намерение навсегда разлучиться с нею.
Утром, когда камердинер, внося кофе, вошел в кабинет, Пьер лежал на отоманке и с раскрытой книгой в руке спал.
Он очнулся и долго испуганно оглядывался не в силах понять, где он находится.
– Графиня приказала спросить, дома ли ваше сиятельство? – спросил камердинер.
Но не успел еще Пьер решиться на ответ, который он сделает, как сама графиня в белом, атласном халате, шитом серебром, и в простых волосах (две огромные косы en diademe [в виде диадемы] огибали два раза ее прелестную голову) вошла в комнату спокойно и величественно; только на мраморном несколько выпуклом лбе ее была морщинка гнева. Она с своим всёвыдерживающим спокойствием не стала говорить при камердинере. Она знала о дуэли и пришла говорить о ней. Она дождалась, пока камердинер уставил кофей и вышел. Пьер робко чрез очки посмотрел на нее, и, как заяц, окруженный собаками, прижимая уши, продолжает лежать в виду своих врагов, так и он попробовал продолжать читать: но чувствовал, что это бессмысленно и невозможно и опять робко взглянул на нее. Она не села, и с презрительной улыбкой смотрела на него, ожидая пока выйдет камердинер.

обьясните плиз что такое интеграл и получил лучший ответ

Ответ от @ @@@@@ [гуру]
Интеграл - математический оператор: В математическом анализе интегралом функции называют расширение понятия суммы. Процесс нахождения интеграла называется интегрированием. Этот процесс обычно используется при нахождений таких величин как площадь, объём, масса, смещение и т. д. , когда задана скорость или распределение изменений этой величины по отношению к некоторой другой величине (положение, время и т. д.) .Существует несколько различных определений операции интегрирования, отличающиеся в технических деталях. Однако все они совместимы, то есть любые два способа интегрирования, если их можно применить к данной функции, дадут один и тот же результатОпределённый интеграл Неопределённый интеграл различные определения интегралов: Интеграл - расширение понятия суммы Интеграл Ито Интеграл Лебега Интеграл Даниэля Интеграл Римана «Интеграл» - завод в Минске (Беларусь) по выпуску электроники. «Интеграл» - ансамбль под руководством Бари Алибасова

Ответ от Булат 1 [гуру]
Сначала было понятие суммы (конечного числа слагаемых) .
С помощью понятия "ряд" расширили сумму на бесконечное (но счётное) число слагаемых.
Интеграл - расширение понятия суммы на континуум слагаемых.
Проще говоря, интеграл - сумма бесконечно большого числа бесконечно маленьких слагаемых. С геометрической точки зрения интеграл проще всего объяснить как площадь фигуры, граница которой задана интегрируемой функцией.
В один ответ тут никак не уложиться, лучше почитайте для начала.

Ответ от AMS [гуру]
Определённый интеграл (от функции) : - если нарисовать график подинтегральной фукнции - то интеграл - это площать под кривой (линией) этого графика. Можно нарисовать график на бумаге натурально, вырезать ножницами контур и взвесить, в граммах, а результат разделить на вес одного сантиметра квадратного...это и будет численное значение данного интеграла. Реальные медоды вычислений - требуют дополнительных знаний и алгоритмов, довольно простых. Далеко не все интегралы можно вычислить аналитически. Большую часть из них вычисляют приблизительно, при помощи ЭВМ.Неопределённый интеграл: - если есть функция (Ф1), заданная аналитической формулой (алгебраически, например, х^2 + 1), то производная от неё - тоже будет какой- то функцией (Ф2, соответственно, 2х, см. правила дифференцирования) . Так вот неопределенный интеграл от Ф2 (2х) равен Ф1 (х^2+1, т. е. интегрирование есть обратная операция операции дифференцирования) . Неопределенные интегралы вычисляются только для простых алгебраических выражений.. . Все они описаны в соответствующих справочниках или математических программах.Если не достаточно понятно - задавайте вопросы. отвечу.