Свойства циклоиды. Замечательные кривые и их свойства

Помни-те оран-же-вые пласт-мас-со-вые ка-та-фо-ты - све-то-от-ра-жа-те-ли, при-креп-ля-ю-щи-е-ся к спи-цам ве-ло-си-пед-но-го ко-ле-са? При-кре-пим ка-та-фот к са-мо-му обо-ду ко-ле-са и про-сле-дим за его тра-ек-то-ри-ей . По-лу-чен-ные кри-вые при-над-ле-жат се-мей-ству цик-ло-ид.

Ко-ле-со при этом на-зы-ва-ет-ся про-из-во-дя-щим кру-гом (или окруж-но-стью) цик-ло-и-ды.

Но да-вай-те вер-нём-ся в наш век и пе-ре-ся-дем на бо-лее совре-мен-ную тех-ни-ку. На пу-ти бай-ка по-пал-ся ка-му-шек, ко-то-рый за-стрял в про-тек-то-ре ко-ле-са. Про-вер-нув-шись несколь-ко кру-гов с ко-ле-сом, ку-да по-ле-тит ка-мень, ко-гда вы-ско-чит из про-тек-то-ра? Про-тив на-прав-ле-ния дви-же-ния мо-то-цик-ла или по на-прав-ле-нию?

Как из-вест-но, сво-бод-ное дви-же-ние те-ла на-чи-на-ет-ся по ка-са-тель-ной к той тра-ек-то-рии, по ко-то-рой оно дви-га-лось. Ка-са-тель-ная к цик-ло-и-де все-гда на-прав-ле-на по на-прав-ле-нию дви-же-ния и про-хо-дит через верх-нюю точ-ку про-из-во-дя-щей окруж-но-сти. По на-прав-ле-нию дви-же-ния по-ле-тит и наш ка-му-шек.

Помни-те, как Вы ка-та-лись в дет-стве по лу-жам на ве-ло-си-пе-де без зад-не-го кры-ла? Мок-рая по-лос-ка на ва-шей спине яв-ля-ет-ся жи-тей-ским под-твер-жде-ни-ем толь-ко что по-лу-чен-но-го ре-зуль-та-та.

Век XVII - это век цик-ло-и-ды. Луч-шие учё-ные изу-ча-ли её уди-ви-тель-ные свой-ства.

Ка-кая тра-ек-то-рия при-ве-дёт те-ло, дви-жу-ще-е-ся под дей-стви-ем си-лы тя-же-сти, из од-ной точ-ки в дру-гую за крат-чай-шее вре-мя ? Это бы-ла од-на из пер-вых за-дач той на-у-ки, ко-то-рая сей-час но-сит на-зва-ние ва-ри-а-ци-он-ное ис-чис-ле-ние.

Ми-ни-ми-зи-ро-вать (или мак-си-ми-зи-ро-вать) мож-но раз-ные ве-щи - дли-ну пу-ти, ско-рость, вре-мя. В за-да-че о бра-хи-сто-хроне ми-ни-ми-зи-ру-ет-ся имен-но вре-мя (что под-чёр-ки-ва-ет-ся са-мим на-зва-ни-ем: греч. βράχιστος - наи-мень-ший, χρόνος - вре-мя).

Пер-вое, что при-хо-дит на ум, - это пря-мо-ли-ней-ная тра-ек-то-рия. Да-вай-те так-же рас-смот-рим пе-ре-вёр-ну-тую цик-ло-и-ду с точ-кой воз-вра-та в верх-ней из за-дан-ных то-чек. И, сле-дуя за Га-ли-лео Га-ли-ле-ем, - чет-вер-тин-ку окруж-но-сти , со-еди-ня-ю-щую на-ши точ-ки.

По-че-му же Га-ли-лео Га-ли-лей рас-смат-ри-вал чет-вер-тин-ку окруж-но-сти и счи-тал, что это наи-луч-шая в смыс-ле вре-ме-ни тра-ек-то-рия спус-ка? Он впи-сы-вал в неё ло-ма-ные и за-ме-тил, что при уве-ли-че-нии чис-ла зве-ньев вре-мя спус-ка умень-ша-ет-ся. От-сю-да Га-ли-лей есте-ствен-ным об-ра-зом пе-ре-шёл к окруж-но-сти, но сде-лал невер-ный вы-вод, что эта тра-ек-то-рия наи-луч-шая сре-ди всех воз-мож-ных. Как мы ви-де-ли, наи-луч-шей тра-ек-то-ри-ей яв-ля-ет-ся цик-ло-и-да.

Через две дан-ные точ-ки мож-но про-ве-сти един-ствен-ную цик-ло-и-ду с усло-ви-ем, что в верх-ней точ-ке на-хо-дит-ся точ-ка воз-вра-та цик-ло-и-ды. И да-же ко-гда цик-ло-и-де при-хо-дит-ся под-ни-мать-ся, чтобы прой-ти через вто-рую точ-ку, она всё рав-но бу-дет кри-вой наи-ско-рей-ше-го спус-ка !

Ещё од-на кра-си-вая за-да-ча, свя-зан-ная с цик-ло-и-дой, - за-да-ча о та-у-то-хроне. В пе-ре-во-де с гре-че-ско-го ταύτίς озна-ча-ет «тот же са-мый», χρόνος, как мы уже зна-ем - «вре-мя».

Сде-ла-ем три оди-на-ко-вые гор-ки с про-фи-лем в ви-де цик-ло-и-ды, так, чтобы кон-цы го-рок сов-па-да-ли и рас-по-ла-га-лись в вер-шине цик-ло-и-ды . По-ста-вим три бо-ба на раз-ные вы-со-ты и да-дим от-маш-ку. Уди-ви-тель-ней-ший факт - все бо-бы при-едут вниз од-новре-мен-но !

Зи-мой Вы мо-же-те по-стро-ить во дво-ре гор-ку изо льда и про-ве-рить это свой-ство вжи-вую.

За-да-ча о та-у-то-хроне со-сто-ит в на-хож-де-нии та-кой кри-вой, что, на-чи-ная с лю-бо-го на-чаль-но-го по-ло-же-ния, вре-мя спус-ка в за-дан-ную точ-ку бу-дет оди-на-ко-вым.

Хри-сти-ан Гюй-генс до-ка-зал, что един-ствен-ной та-у-то-хро-ной яв-ля-ет-ся цик-ло-и-да.

Ко-неч-но же, Гюй-ген-са не ин-те-ре-со-вал спуск по ле-дя-ным гор-кам. В то вре-мя учё-ные не име-ли та-кой рос-ко-ши за-ни-мать-ся на-у-ка-ми из люб-ви к ис-кус-ству. За-да-чи, ко-то-рые изу-ча-лись, ис-хо-ди-ли из жиз-ни и за-про-сов тех-ни-ки то-го вре-ме-ни. В XVII ве-ке со-вер-ша-ют-ся уже даль-ние мор-ские пла-ва-ния. Ши-ро-ту мо-ря-ки уме-ли опре-де-лять уже до-ста-точ-но точ-но, но уди-ви-тель-но, что дол-го-ту не уме-ли опре-де-лять со-всем. И один из пред-ла-гав-ших-ся спо-со-бов из-ме-ре-ния ши-ро-ты был ос-но-ван на на-ли-чии точ-ных хро-но-мет-ров.

Пер-вым, кто за-ду-мал де-лать ма-ят-ни-ко-вые ча-сы, ко-то-рые бы-ли бы точ-ны, был Га-ли-лео Га-ли-лей. Од-на-ко в тот мо-мент, ко-гда он на-чи-на-ет их ре-а-ли-зо-вы-вать, он уже стар, он слеп, и за остав-ший-ся год сво-ей жиз-ни учё-ный не успе-ва-ет сде-лать ча-сы. Он за-ве-ща-ет это сы-ну, од-на-ко тот мед-лит и на-чи-на-ет за-ни-мать-ся ма-ят-ни-ком то-же лишь пе-ред смер-тью и не успе-ва-ет ре-а-ли-зо-вать за-мы-сел. Сле-ду-ю-щей зна-ко-вой фигу-рой был Хри-сти-ан Гюй-генс.

Он за-ме-тил, что пе-ри-од ко-ле-ба-ния обыч-но-го ма-ят-ни-ка, рас-смат-ри-вав-ше-го-ся Га-ли-ле-ем, за-ви-сит от из-на-чаль-но-го по-ло-же-ния, т.е. от ам-пли-ту-ды. За-ду-мав-шись о том, ка-ко-ва долж-на быть тра-ек-то-рия дви-же-ния гру-за, чтобы вре-мя ка-че-ния по ней не за-ви-се-ло от ам-пли-ту-ды, он ре-ша-ет за-да-чу о та-у-то-хроне. Но как за-ста-вить груз дви-гать-ся по цик-ло-и-де ? Пе-ре-во-дя тео-ре-ти-че-ские ис-сле-до-ва-ния в прак-ти-че-скую плос-кость, Гюй-генс де-ла-ет «щёч-ки», на ко-то-рые на-ма-ты-ва-ет-ся ве-рев-ка ма-ят-ни-ка, и ре-ша-ет ещё несколь-ко ма-те-ма-ти-че-ских за-дач. Он до-ка-зы-ва-ет, что «щёч-ки» долж-ны иметь про-филь той же са-мой цик-ло-и-ды, тем са-мым по-ка-зы-вая, что эво-лю-той цик-ло-и-ды яв-ля-ет-ся цик-ло-и-да с те-ми же па-ра-мет-ра-ми.

Кро-ме то-го, пред-ло-жен-ная Гюй-ген-сом кон-струк-ция цик-ло-и-даль-но-го ма-ят-ни-ка поз-во-ля-ет по-счи-тать дли-ну цик-ло-и-ды. Ес-ли си-нюю ни-точ-ку, дли-на ко-то-рой рав-на че-ты-рём ра-ди-у-сам про-из-во-дя-ще-го кру-га, мак-си-маль-но от-кло-нить, то её ко-нец бу-дет в точ-ке пе-ре-се-че-ния «щёч-ки» и цик-ло-и-ды-тра-ек-то-рии, т.е. в вер-шине цик-ло-и-ды-«щёч-ки». Так как это по-ло-ви-на дли-ны ар-ки цик-ло-и-ды, то пол-ная дли-на рав-на вось-ми ра-ди-у-сам про-из-во-дя-ще-го кру-га.

Хри-сти-ан Гюй-генс сде-лал цик-ло-и-даль-ный ма-ят-ник, и ча-сы с ним про-хо-ди-ли ис-пы-та-ния в мор-ских пу-те-ше-стви-ях, но не при-жи-лись. Впро-чем, так же, как и ча-сы с обыч-ным ма-ят-ни-ком для этих це-лей.

От-че-го же, од-на-ко, до сих пор су-ще-ству-ют ча-со-вые ме-ха-низ-мы с обык-но-вен-ным ма-ят-ни-ком? Ес-ли при-гля-деть-ся, то при ма-лых от-кло-не-ни-ях, как у крас-но-го ма-ят-ни-ка, «щёч-ки» цик-ло-и-даль-но-го ма-ят-ни-ка по-чти не ока-зы-ва-ют вли-я-ния. Со-от-вет-ствен-но, дви-же-ние по цик-ло-и-де и по окруж-но-сти при ма-лых от-кло-не-ни-ях по-чти сов-па-да-ют.

ЛЕМНИСКАТЫ
Уравнение в полярных координатах:
r 2 = a 2 cos2θ

(x 2 + y 2) 2 = a 2 (x 2 - y 2)

Угол между AB" или A"B и осью x = 45 o

Площадь одной петли = a 2 /2

ЦИКЛОИДА

Площадь одной дуги = 3πa 2

Длина дуги одной арки = 8a

Это кривая, описываемая точкой Р на окружности радиусом а, которая катится вдоль оси х.

ГИПОЦИКЛОИДЫ С ЧЕТЫРЬМЯ ОСТРИЯМИ
Уравнение в прямоугольных координатах:
x 2/3 + y 2/3 = a 2/3

Уравнения в параметрической форме:

Площадь, ограниченная кривой = 3πa 2 /8

Длина дуги целой кривой = 6a

Это кривая, описываемая точкой Р на окружности радиусом a/4, которая катится внутри окружности радиусом a.

КАРДИОИДА
Уравнение: r = a(1 + cosθ)

Площадь, ограниченная кривой = 3πa 2 /2

Длина дуги кривой = 8a

Это кривая, описываемая точкой Р на окружности радиусом a, которая катится снаружи окружности радиусом a. Эта кривая также является частным случаем улитки Паскаля.

ЦЕПНАЯ ЛИНИЯ
Уравнение:
y = a(e x/a + e -x/a)/2 = acosh(x/a)

Это кривая, по которой бы повисла цепь, подвешенная вертикально от точки А к В.

ТРЕХЛЕПЕСТКОВАЯ РОЗА
Уравнение: r = acos3θ

Уравнение r = acos3θ подобно кривой, полученной вращением против часовой стрелки по кривой 30 o или π/6 радиан.

В общем, r = acosnθ или r = asinnθ имеет n лепестков если n является нечетным.

ЧЕТЫРЕХЛЕПЕСТКОВАЯ РОЗА
Уравнение: r = acos2θ

Уравнение r = asin2θ подобно кривой, полученной вращением против часовой стрелки по кривой 45 o или π/4 радиан.

В общем r = acosnθ или r = asinnθ имеет 2n лепестков если n - четное.

ЭПИЦИКЛОИДА
Параметрические уравнения:

Это кривая, описываемая точкой Р на окружности радиуса b, когда она катится по внешней стороне окружности радиусом а. Кардиоида является частным случаем эпициклоиды.

ОБЩАЯ ГИПОЦИКЛОИДА
Параметрические уравнения:

Это кривая, описываемая точкой Р на окружности радиуса b, когда она катится по внешней стороне окружности радиусом а.

Если b = a/4, кривая является гипоциклоидой с четырьмя остриями.

ТРОХОИДА
Параметрические уравнения:

Это кривая, описываемая точкой Р на дистанции b от центра окружности с радиусом а, когда она катится по оси x.
Если b укороченной циклоидой.
Если b > a, кривая имеет форму, показанную на рис. 11-11 и называется троходой.
Если b = a, кривая есть циклоидой.

ТРАКТРИСА
Параметрические уравнения:

Это кривая, описываемая конечной точкой Р натянутой струны длиной PQ, когда другой конец Q перемещается вдоль оси х.

ВЕРЗЬЕРА (ВЕРЗИЕРА) АНЬЕЗИ (ИНОГДА ЛОКОН АНЬЕЗИ)
Уравнение в прямоугольных координатах: y = 8a 3 /(x 2 + 4a 2)

Параметрические уравнения:

В. На рисунке переменная линия OA пересекающая y = 2a и круг с радиусом a с центром (0,a) в A и B соотвественно. Любая точка P на "локоне" определяется построением линий, параллельных к осям x и y, и через B и A соответственно и определяющие точку пересечения P.

ДЕКАРТОВ ЛИСТ
Уравнение в прямоугольных координатах:
x 3 + y 3 = 3axy

Параметрические уравнения:

Площадь петли 3a 2 /2

Уравнение асимптоты: x + y + a = 0.

ЭВОЛЬВЕНТА ОКРУЖНОСТИ
Параметрические уравнения:

Эта кривая, описанная конечной точкой P струны, когда она разматывается с круга с радиусом a.

ЭВОЛЬВЕНТА ЭЛЛИПСА
Уравнение в прямоугольных координатах:
(ax) 2/3 + (by) 2/3 = (a 2 - b 2) 2/3

Параметрические уравнения:

Эта кривая является огибающей нормалью к эллипсу x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1.

ОВАЛЫ КАССИНИ
Полярное уравнение: r 4 + a 4 - 2a 2 r 2 cos2θ = b 4 .

Это кривая, описываемая такой точкой P, что произведение ее расстояния от двух фиксированных точек [ расстояние 2a в сторону] есть постоянной b 2 .

Кривая, как на фигурах внизу, когда b a соответственно.

Если b = a, кривая есть лемниската

УЛИТКА ПАСКАЛЯ
Полярное уравнение: r = b + acosθ

Пусть OQ будет линией, соединяющей центр O с любой точкой Q на окружности диаметром a проходящей через O. Тогда кривая есть фокусом всех точек P, таких, что PQ = b.

Кривая, показанная на рисунках внизу когда b > a или b

ЦИССОИДА ДИОКЛА
Уравнение в прямоугольных координатах: y 2 = x 3 /(2a - x)

Параметрические уравнения:

Это кривая, описываемая такой точкой P, что расстояние OP = расстоянию RS. Используется в задаче удвоения куба , т.e. нахождения стороны куба, который имеет удвоенный объем заданного куба

СПИРАЛЬ АРХИМЕДА
Полярное уравнение: r = aθ

Помните оранжевые пластмассовые катафоты - светоотражатели, прикрепляющиеся к спицам велосипедного колеса? Прикрепим катафот к самому ободу колеса и проследим за его траекторией. Полученные кривые принадлежат семейству циклоид. Колесо при этом называется производящим кругом (или окружностью) циклоиды. Но давайте вернёмся в наш век и пересядем на более современную технику. На пути байка попался камушек, который застрял в протекторе колеса.

Провернувшись несколько кругов с колесом, куда полетит камень, когда выскочит из протектора? Против направления движения мотоцикла или по направлению? Как известно, свободное движение тела начинается по касательной к той траектории, по которой оно двигалось. Касательная к циклоиде всегда направлена по направлению движения и проходит через верхнюю точку производящей окружности. По направлению движения полетит и наш камушек. Помните, как Вы катались в детстве по лужам на велосипеде без заднего крыла? Мокрая полоска на вашей спине является житейским подтверждением только что полученного результата.

Век XVII - это век циклоиды. Лучшие учёные изучали её удивительные свойства. Какая траектория приведёт тело, движущееся под действием силы тяжести, из одной точки в другую за кратчайшее время? Это была одна из первых задач той науки, которая сейчас носит название вариационное исчисление. Минимизировать (или максимизировать) можно разные вещи - длину пути, скорость, время. В задаче о брахистохроне минимизируется именно время (что подчёркивается самим названием: греч. βράχιστος - наименьший, χρόνος - время). Первое, что приходит на ум, - это прямолинейная траектория. Давайте также рассмотрим перевёрнутую циклоиду с точкой возврата в верхней из заданных точек. И, следуя за Галилео Галилеем, - четвертинку окружности, соединяющую наши точки. Сделаем бобслейные трассы с рассмотренными профилями и проследим, какой из бобов приедет первым. История бобслея берёт своё начало в Швейцарии. В 1924 году во французском городе Шамони проходят первые зимние Олимпийские игры. На них уже проводятся соревнования по бобслею для экипажей двоек и четвёрок.

Единственный год, когда на Олимпийских играх экипаж боба состоял из пяти человек, был 1928. С тех пор в бобслее всегда соревнуются мужские экипажи двойки и четвёрки. В правилах бобслея много интересного. Конечно же, существует ограничения на вес боба и команды, но существуют даже ограничения на материалы, которые можно использовать в коньках боба (передняя пара их подвижна и связана с рулём, задняя закреплена жёстко). Например, радий не может использоваться при изготовлении коньков.

Дадим старт нашим четвёркам. Какой же боб первым приедет к финишу? Боб зелёного цвета, выступающий за команду Математических этюдов и катившийся по циклоидальной горке, приходит первым! Почему же Галилео Галилей рассматривал четвертинку окружности и считал, что это наилучшая в смысле времени траектория спуска? Он вписывал в неё ломаные и заметил, что при увеличении числа звеньев время спуска уменьшается. Отсюда Галилей естественным образом перешёл к окружности, но сделал неверный вывод, что эта траектория наилучшая среди всех возможных. Как мы видели, наилучшей траекторией является циклоида. Через две данные точки можно провести единственную циклоиду с условием, что в верхней точке находится точка возврата циклоиды. И даже когда циклоиде приходится подниматься, чтобы пройти через вторую точку, она всё равно будет кривой наискорейшего спуска! Ещё одна красивая задача, связанная с циклоидой, - задача о таутохроне. В переводе с греческого ταύτίς означает «тот же самый», χρόνος, как мы уже знаем - «время». Сделаем три одинаковые горки с профилем в виде циклоиды, так, чтобы концы горок совпадали и располагались в вершине циклоиды. Поставим три боба на разные высоты и дадим отмашку.

Удивительнейший факт - все бобы приедут вниз одновременно! Зимой Вы можете построить во дворе горку изо льда и проверить это свойство вживую. Задача о таутохроне состоит в нахождении такой кривой, что, начиная с любого начального положения, время спуска в заданную точку будет одинаковым. Христиан Гюйгенс доказал, что единственной таутохроной является циклоида. Конечно же, Гюйгенса не интересовал спуск по ледяным горкам. В то время учёные не имели такой роскоши заниматься науками из любви к искусству. Задачи, которые изучались, исходили из жизни и запросов техники того времени. В XVII веке совершаются уже дальние морские плавания. Широту моряки умели определять уже достаточно точно, но удивительно, что долготу не умели определять совсем. И один из предлагавшихся способов измерения широты был основан на наличии точных хронометров. Первым, кто задумал делать маятниковые часы, которые были бы точны, был Галилео Галилей. Однако в тот момент, когда он начинает их реализовывать, он уже стар, он слеп, и за оставшийся год своей жизни учёный не успевает сделать часы. Он завещает это сыну, однако тот медлит и начинает заниматься маятником тоже лишь перед смертью и не успевает реализовать замысел.

Следующей знаковой фигурой был Христиан Гюйгенс. Он заметил, что период колебания обычного маятника, рассматривавшегося Галилеем, зависит от изначального положения, т.е. от амплитуды. Задумавшись о том, какова должна быть траектория движения груза, чтобы время качения по ней не зависело от амплитуды, он решает задачу о таутохроне. Но как заставить груз двигаться по циклоиде? Переводя теоретические исследования в практическую плоскость, Гюйгенс делает «щёчки», на которые наматывается веревка маятника, и решает ещё несколько математических задач. Он доказывает, что «щёчки» должны иметь профиль той же самой циклоиды, тем самым показывая, что эволютой циклоиды является циклоида с теми же параметрами. Кроме того, предложенная Гюйгенсом конструкция циклоидального маятника позволяет посчитать длину циклоиды. Если синюю ниточку, длина которой равна четырём радиусам производящего круга, максимально отклонить, то её конец будет в точке пересечения «щёчки» и циклоиды-траектории, т.е. в вершине циклоиды-«щёчки». Так как это половина длины арки циклоиды, то полная длина равна восьми радиусам производящего круга. Христиан Гюйгенс сделал циклоидальный маятник, и часы с ним проходили испытания в морских путешествиях, но не прижились. Впрочем, так же, как и часы с обычным маятником для этих целей. Отчего же, однако, до сих пор существуют часовые механизмы с обыкновенным маятником? Если приглядеться, то при малых отклонениях, как у красного маятника, «щёчки» циклоидального маятника почти не оказывают влияния. Соответственно, движение по циклоиде и по окружности при малых отклонениях почти совпадают.

Литература:
Г. Н. Берман. Циклоида. М.: Наука, 1980.
С. Г. Гиндикин. Рассказы о физиках и математиках. М.: МЦНМО, 2006.

Комментарии: 1

Владимир Захаров

Лекция академика РАН, доктора физико-математических наук, председателя научного совета РАН по нелинейной динамике, зав. Сектором математической физики в Физическом институте РАН им. Лебедева, профессора Университета Аризоны (США), дважды лауреата Государственной премии, лауреата медали Дирака Владимира Евгеньевича Захарова, прочитанной 27 мая 2010 года в Политехническом музее в рамках проекта “Публичные лекции Полит.ру”.

Сергей Куксин

Международная научная конференция «Дни классической механики» г. Москва, МИАН, ул. Губкина, д. 8 26 января 2015 г.

Хаос - математический фильм, состоящий из девяти глав, по тринадцать минут каждая. Это фильм для широкой публики, посвященный динамическим системам, эффекту бабочки и теории хаоса.

Александра Скрипченко

Математик Александра Скрипченко о биллиарде как динамической системе, рациональных углах и теореме Пуанкаре.

Юлий Ильяшенко

Теория Колмогорова–Арнольда–Мозера отвечает на вопросы типа «Могут ли планеты упасть на Солнце? Если да, то с какой вероятностью? И через какое время?» Математическая постановка задачи: предположим, что массы столь малы, что их притяжением друг к другу можно пренебречь. Тогда траектории движения планет можно посчитать; это сделал ещё Ньютон. Если перейти к реальному случаю, когда взаимное притяжение планет влияет на их орбиты, получится малое возмущение интегрируемой, т.е. точно решаемой, системы. Исследование малых возмущений интегрируемых систем классической механики Пуанкаре считал основной задачей теории дифференциальных уравнений. В лекциях будет рассказано, на уровне, доступном старшим школьникам, об основных идеях теории КАМ. Мы не поднимемся до задачи n тел и классической механики, но обсудим диффеоморфизмы окружности и основной шаг индукционного процесса, предложенного Колмогоровым для задач небесной механики.

Ольга Ромаскевич

Если поступить очень жестоко и отобрать у математика карандаш и бумагу, он будет смотреть на небо в поисках новых задач. Вопрос о движении планет (в математическом мире встречающийся под кодовым названием «Задача n тел») является чрезвычайно сложным - настолько сложным, что даже для специальных подслучаев случая n=3 каждый год публикуется огромное количество работ. Разобрать все аспекты этой задачи невозможно даже за семестровый курс. Мы, однако, не испугаемся, и попробуем поиграться в математику, которая здесь возникает. Основной мотивацией для нас будет задача двух тел: задача о движении одной планеты вокруг Солнца в предположении о том, что как будто бы никаких других планет в округе нет.

Дмитрий Аносов

В книге рассказывается о дифференциальных уравнениях. В одних случаях автор объясняет, как решаются дифференциальные уравнения, а в других-как геометрические соображения помогают понять свойства их решений. (С этим и связаны слова «то решаем, то рисуем» в названии книги.) Рассмотрено несколько физических примеров. На максимально упрощённом уровне рассказано о некоторых достижениях XX века, включая понимание механизма возникновения «хаоса» в поведении детерминированных объектов. Книга рассчитана на интересующихся математикой школьников старших классов. От них требуется лишь понимание смысла производной как мгновенной скорости.

Алексей Белов

Известна олимпиадная задача: На плоском столе лежат монеты (выпуклые фигуры). Тогда одну из них можно стащить со стола, не задевая остальных. Долгое время математики пытались доказать пространственный аналог этого утверждения, пока не был построен контрпример! Возникла идея: в малом зерне часто нет трещины, трещина за границу зерна не вырастает, а трещины друг друга держат. Эта идея теоретически позволяет создавать композиты в которых не растут трещины, в частности, броню из керамики.

Алексей Сосинский

Один из важнейших понятий механики и теоретической физики - понятие конфигурационного пространства механической системы - почему-то остается неизвестным не только школьникам, но и большинству студентов-математиков. В лекции рассмотрен очень простой, но весьма содержательный класс механических систем - плоские шарнирные механизмы с двумя степенями свободы. Мы обнаружим, что в «общем случае» их конфигурационные пространства суть двумерные поверхности, и постараемся понять - какие именно. (Здесь имеются окончательные результаты десятилетней давности Димы Звонкина.) Далее обсуждаются нерешенные математические задачи, связанные с шарнирными механизмами. (В том числе две гипотезы, а точнее - недоказанные теоремы, американского математика Билла Тёрстона.)

Владимир Протасов

Вариационное исчисление - наука о поиске минимума функции в бесконечномерном пространстве. В отличие от привычных нам задач на минимум, когда нужно оптимальным образом выбрать число (параметр), или, скажем, точку на плоскости, в вариационных задачах требуется найти оптимальную функцию. При этом, одним и тем же набором средств решаются задачи самого разного происхождения: из классической механики, геометрии, математической экономики и т.д. Мы начнем со старых задач, известных с XVII века, и, перекидывая мостки от одной задачи к другой, быстро доберемся до современных результатов и нерешенных проблем.

«На второе был подан пирог в форме циклоиды..»

Дж. Свифт Путешествия Гулливера

Касательная и нормаль к циклоиде

Наиболее естественным определением окружности будет, пожалуй, следующее: «окружностью называется путь частицы твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси». Это определение наглядно, из него легко вывести все свойства окружности, а главное, оно сразу рисует нам окружность, как непрерывную кривую, чего вовсе не видно из классического определения окружности, как геометрического места точек плоскости, равноудаленных от одной точки.

Почему же в школе мы определяем окружность, к? к геометрическое место точек? Чем плохо определение окружности с помощью движения (вращения)? Подумаем об этом.

Когда мы изучаем механику, мы не занимаемся доказательством геометрических теорем: мы считаем, что уже знаем их - мы просто ссылаемся на геометрию, как на нечто уже известное.

Если и при доказательстве геометрических теорем мы будем ссылаться на механику, как на нечто уже известное, то сделаем ошибку, которая называется «логический (порочный) круг»: при доказательстве предложения мы ссылаемся на предложение В, а само предложение В обосновываем с помощью предложения А. Грубо говоря, Иван кивает на Петра, а Петр на Ивана. Такое положение при изложении научных дисциплин недопустимо. Поэтому стараются, излагая арифметику, не ссылаться на геометрию, излагая геометрию, не ссылаться на механику и т. д. При этом можно при изложении геометрии безбоязненно пользоваться арифметикой, а при изложении механики и арифметикой, и геометрией, логического круга не получится.

Определение циклоиды, с которым мы успели познакомиться, никогда не удовлетворяло ученых: ведь оно опирается на механические понятия - скорости, сложения движений и т. д. Поэтому геометры всегда стремились дать циклоиде чисто геометрическое определение. Но для того, чтобы дать такое определение, нужно прежде всего изучить основные свойства циклоиды, пользуясь ее механическим определением. Выбрав наиболее простое и характерное из этих свойств, можно положить его в основ) геометрического определения.

Начнем с изучения касательной и нормали к циклоиде. Что такое касательная к кривой линии, каждый представляет себе достаточно ясно; точно определение касательной дается в курсах высшей математики, и мы его приводить здесь не будем.

Рис. 16. Касательная и нормаль к кривой.

Нормалью называется перпендикуляр к касательной, восставленный в точке касания. На рис. 16 изображена касательная и нормаль к кривой АВ в ее точке Рассмотрим циклоиду (рис. 17). Кружок катится по прямой АВ.

Допустим, что вертикальный радиус круга, проходивший в начальный момент через нижнюю точку циклоиды, успел повернуться на угол (греческая буква «фи») и занял положение ОМ. Иными словами, мы считаем, что отрезок МСТ составляет такую долю отрезка какую угол составляет от 360° (от полного оборота). При этом точка пришла в точку М.

Рис. 17. Касательная к циклоиде.

Точка М и есть интересующая нас точка циклоиды.

Стрелочка ОН изображает скорость движения центра катящегося круга. Такой же горизонтальной скоростью обладают все точки круга, в том числе и точка М. Но, кроме того, точка М принимает участие во вращении круга. Скорость МС, которую точка М на окружности получает при этом вращении, направлена по касательной к окружности, т. е. перпендикулярно к радиусу ОМ. Мы уже знаем из «разговора двух веюсипедистов» (см. стр. 6), что скорость МС по величине равна скорости МР (т. е. скорости ОН). Поэтому параллелограмм скоростей в случае нашего движения будет ромбом (ромб МСКР на рис. 17). Диагональ МК этого ромба как раз и даст нам касательную к циклоиде.

Теперь мы можем ответить на вопрос, поставленный в конце беседы Сергея и Васи (стр. 7). Комок грязи, оторвавшийся от велосипедного колеса, движется по касательной к траектории той частицы колеса, от которой он отделился. Но траекторией будет не окружность, а циклоида, потому что колесо не просто вращается, а катится, т. е. совершает движение, состоящее из поступательного движения и вращения.

Все сказанное дает возможность решить следующую «задачу на построение»: дана направляющая прямая АВ циклоиды, радиус производящего круга и точка М, принадлежащая циклоиде (рис. 17).

Требуется построить касательную МК к циклоиде.

Имея точку М, мы без труда строим производящий круг, в том его положении, когда точка на окружности попадает в М, Для этого предварительно найдем центр О при помощи радиуса (точка О должна лежать на прямой, параллельной АВ на расстоянии от нее). Затем строим отрезок МР произвольной длины, параллельный направляющей прямой. Далее строим прямую перпендикулярную к ОМ На этой прямой откладываем от точки М отрезок МС, равный МР. На МС и МР, как на сторонах, строим ромб. Диагональ этого ромба и будет касательной к циклоиде в точке М.

Это построение - чисто геометрическое, хотя получили мы его, используя понятия механики. Теперь мы можем проститься с механикой и дальнейшие следствия получать без ее помощи. Начнем с простой теоремы.

Теорема 1. Угол между касательной к циклоиде (в произвольной точке) и направляющей прямой равен дополнению до 90° половины угла поворота радиуса производящего круга.

Иными словами, на нашем рис. 17 угол KLT равен или . Это равенство мы теперь докажем. Для сокращения речи условимся угол поворота радиуса производящего круга называть «основным углом». Значит, угол МОТ на рис. 17 - основной угол. Будем считать основной угол острым. Читатель сам видоизменит рассуждения для случая тупого угла, т. е. для случая, когда катящийся круг сделает больше четверти полного оборота.

Рассмотрим угол СМР. Сторона СМ перпендикулярна к ОМ (касательная к окружности перпендикулярна к радиусу). Сторона МР (горизонталь) перпендикулярна к ОТ (к вертикали). Но угол МОТ, по условию, острый (мы условились рассматривать первую четверть оборота), а угол СМР - тупой (почему?). Значит, углы МОТ и СМР составляют в сумме 180° (углы со взаимно перпендикулярными сторонами, из которых один острый, а другой - тупой).

Итак, угол СМР равен Но, как известно, диагональ ромба делит угол при вершине пополам.

Следовательно, угол что и требовалось доказать.

Обратим теперь внимание на нормаль к циклоиде. Мы говорили уже, что нормалью к кривой называется перпендикуляр к касательной, проведенный в точке касания (рис. 16). Изобразим левую часть рис. 17 крупнее, причем проведем нормаль (см. рис. 18).

Из рис. 18 следует, что угол ЕМР равен разности углов КМЕ и КМР, т. е. равен 90° - к. КМР.

Рис. 18. К теореме 2.

Но мы только что доказали, что сам угол КМР равен . Таким образом, получаем:

Мы доказали простую, но полезную теорему. Дадим ее формулировку:

Теорема 2. Угол между нормалью к циклоиде (в любой ее точке) и направляющей прямой равен половине «основного угла».

(Вспомним, что «основным углом» называется угол поворота радиуса катящегося круга)

Соединим теперь точку М («текущую» точку циклоиды) с «нижней» точкой (Т) производящего круга (с точкой касания производящего круга и направляющей прямой - см. рис. 18).

Треугольник МОТ, очевидно, равнобедренный (ОМ и ОТ - радиусы производящего круга). Сумма углов при основании этого треугольника равна , а каждый из углов при основании - половине этой суммы. Итак,

Обратим внимание на угол РМТ. Он равен разности углов ОМТ и ОМР. Мы видели сейчас, что равен 90° - что касается угла ОМР, то нетрудно выяснить, чему он равен. Ведь угол ОМР равен углу DOM (внутренние накрест лежащие углы при параллельных).

Рис. 19. Основные свойства касательной и нормали к циклоиде.

Непосредственно очевидно, что равен . Значит, . Таким образом, получаем:

Получается замечательный результат: угол РМТ оказывается равным углу РМЕ (см. теорему 2). Следовательно, прямые ME и МТ сольются! Наш рис. 18 сделан не совсем правильно! Правильное расположение линий дано на рис. 19.

Как же сформулировать полученный результат? Мы сформулируем его в виде теоремы 3.

Теорема 3 (первое основное свойство циклоиды). Нормаль к циклоиде проходит через «нижнюю» точку производящего круга.

Из этой теоремы получается простое следствие. Угол между касательной и нормалью, по определению, - прямой. Это угол, вписанный в окружность

Поэтому он должен опираться на диаметр круга. Итак, - диаметр, и - «верхняя» точка производящего круга. Сформулируем полученный результат.

Следствие (второе основное свойство циклоиды). Касательная к циклоиде проходит через «верхнюю» точку производящего круга.

Воспроизведем теперь построение циклоиды по точкам, как мы это делали на рис. 6.

Рис. 20. Циклоида - огибающая своих касательных.

На рис. 20 основание циклоиды разделено на 6 равных частей; чем число делений будет больше, тем, как мы знаем, чертеж получится точнее. В каждой точке циклоиды, построенной нами, проведем касательную, соединяя точку кривой с «верхней» точкой производящего круга. На нашем чертеже получилось семь касательных (из них две - вертикальные). Проводя теперь циклоиду от руки, будем заботиться, чтобы она действительно касалась каждой из этих касательных: это значительно увеличит точность чертежа. При этом сама циклоида будет огибать все эти касательные

Проведем на том же рис. 20 нормали во всех найденных точках циклоиды. Всего будет, не считая направляющей, пять нормалей. Можно построить от руки сгибающую этих нормалей.

Если бы мы вместо шести взяли 12 или 16 точек деления, то нормалей на чертеже было бы больше, и огибающая наметилась бы ясней. Такая огибающая всех нормалей играет важную роль при изучении свойств любой кривой линии. В случае циклоиды обнаруживается любопытный факт: огибающей нормалей циклоиды служит точно такая же циклоида, только сдвинутая на 2а вниз и на на вправо. С этим любопытным результатом, характерным именно для циклоиды, нам еще придется иметь дело.

Свойства касательной и нормали к циклоиде были впервые изложены Торичелли (1608-1647) в его книге «Геометрические работы» (1644 год). Торичелли использовал при этом сложение движений. Несколько позже, но полнее, разобрал эти вопросы Роберваль (псевдоним французского математика Жилля Персонна, 1602-1672). Свойства касательной к циклоиде изучал также Декарт; он изложил свои результаты, не прибегая к помощи механики.